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广义相对论课堂21Schwarzschild时空轨道 2011.11.25 课程安排 复习内容： 讨论内容：惯性系斜交坐标测量意义 新内容：Schwarzschild时空应用 下次课：经典检验 测验 发草稿纸——助教 课后发调查表 测验目的 了解大家的学习困难、不足、效果 确保掌握重点和难点 改进 ‘动钟变慢’误导吗？ ‘动’=速度不为零=钟尺测量速度=相对于坐标钟 加速钟dτ2=γ-2dt2 双生子佯谬=为什么反过来不可以？ 钟尺网格 Marzke-Wheeler坐标 实验不需理论引入钟尺网格 试图在球面上构造全局性惯性系skew坐标 Φ——测地线 θ——非测地线，除赤道圈 θ换成Φ 也用测地线，赤道圈上某一点P=第二极点O 相对于北极点O OO大圆上坐标失效，无能区分不同点——非全局！ 对比极点（θ，Φ）坐标简并 θ、Φ类似匀加速系直线+曲线网格 三种理论4种钟尺网格 理论 参考系（惯性v、加速） 坐标系（正交、非正交） 钟与钟、尺与尺 钟与尺 不同网格之间跨系 事件坐标符号 意义？ 事件之间差值 微分、差分？ 牛顿 相对静止 同步化 刚性 t,x,y,z dt与Δt SR 惯性系Lorentz坐标 惯性系skew坐标 加速系正交 加速系非正交 相对静止 t,x,y,z t,x,y,z或t,x,y,z GR 任意正交(史瓦西为例) 任意非正交：Cook t,r,θ,Φ 无非是将平直时空（事件集合）用网格划分网格点标记 数学的威力——Einstein求助 重要的是数学表达了什么物理 第一个活动惯性斜交坐标系 写在纸上 不要太潦草——上交我查看 多留空白、隔行写——方便批改 尽量文字说明你的推理要点、步骤 测量钟与尺相对运动平直时空坐标网格 三位一体 惯性系skew坐标 钟的世界线 尺子原点刻度的世界线 和钟的世界线重合吗？ 类时、切矢量 类空=尺子延展方向、分量表达 与坐标网格的关系 线元和度规 i方向的基准尺子相对基准钟运动 不是j方向 另选尺子相对不动的总能做到吗？ Cook没讲到：钟尺相对运动 线元存在时空交叉项基准钟尺相对运动？ 转盘系 Schwarzschild时空Eddington-Finkelstein坐标 Kerr时空Boyer-Lindquist坐标 未解之谜：Kerr环奇点 转动宇宙Godel度规 应用 进一步可探讨 对比习题7.21 Cook雷达回波、t,x坐标下 第二个活动匀加速正交坐标系 匀加速正交坐标系完美类比平面几何及坐标系 欧式平面几何 半曲线正交 原点同心射线+ 同心圆 距离平方和 都是尺子延展空间线 闵氏平直时空 同心“圆” 距离平方减 钟尺世界线+尺子延展类空线 第四点：测地线方程（组） 径向方程 测试粒子和光线的测地运动三个初积分／运动常数／守恒量 单位质量粒子能量e(因为在远处)， 无量纲, 物理意义! 单位质量粒子角动量L(因为L=rv) 所有的轨道都是在某一个过球心平面上运动：1。直观地看，任何偏离平面的运动都受到非向心力，破坏了球对称 2。教材9.22，L=0，初始dφ/dτ=0，则以后沿测地线处处为dφ/dτ=0， φ=Const.在一个平面上 3. 解测地线方程，附录B，LightmanP404 可以证明平面运动是稳定的,小扰动后回 坐标轴重新取向，约定在赤道面上讨论θ=π/2 第三个初积分，四速度归一/0化，即线元 四速度只有三个非零分量，利用三个初积分方程，可用e,L表达 第五点：有效势 机械能=径向动能+有效势能（势能+角向动能=离心势能）牛顿情况 有效势与径向方程 量纲,t, τ*c,M*G/c*c,L/c引入M为单位的r,L;粒子 写成牛顿力学机械能守恒的形式9.32,系列方程对非测地线运动也成立，即-1=u*u，只是e,L不再是守恒量，无法利用势能曲线简单分析 第二项为横向动能=离心势能,由离心力导出，方向与引力相反,dτ-dt 第四项为相对论修正项，吸引，相对论引力比牛顿强，本质因为光速极限（由EP=-1=u*u) 利用（有效）势能曲线分析运动轨道及其稳定性，平方项总是大于等于0 图形，牛顿（二三项）和相对论的有效势，分别主导小、中、大R曲线形状，R-0,R-∞ 特殊点，微分画出曲线 给定M，首先按照角动量分类 牛顿L=0径向可到达r=0,实际情况星体表面阻挡－－外力，不再有机械能守恒分析；径向远离，E≥0可逃逸到无穷远（势能为0)，E0会回落 L≠0不可到达r=0， 1。E≥0散射，双曲线(E0)或抛物线(E=0) 2。E0椭圆束缚轨道 3。特别地，势能曲线最低点E=V_min=-1/2L^2(与熟知结果一致)圆周，且稳定 微分应用：分析曲线形状 1.R-0,V--L^2/R^3--∞;R-∞,V--1/R-0;中间V-L^