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第二章 导数与微分 第一节 导数 §1.1导数内容网络图 §1.2 内容提要与释疑解难 一、导数的概念 1．导数概念的实际背景是曲线上一点切线斜率与质点作变速直线运动在某时刻的瞬时速度. 设函数y=f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义，若极限 存在，则称f(x)在点x0可导，并称此极限值为f(x)在点x0处的导数（或微商），记作 f(x0)或y|x=x0或，即 若极限不存在，则称函数y=f(x)在点x0不可导 注1：用于涉及已知抽象函数可导，证明其它结论或已知其它条件，证明函数可导 注2： 用于利用定义求函数的导函数 注3：用于求函数在一点的导数 特别 反之 若（常数）且f(x)在x=0处连续，则f(0)=A， 事实上，由知，利用上面结果知结论正确。 注4：要弄清导数定义的本质。即 （1）若（a可以是常数，可以是）时，，且 ， 则f(x)在x=x0处可导且f(x0)=A。 证。 （2）若（a可以是常数，可以是）时，，且 ，则f(x)在x=x0处可导且f(x0)=A. 证。 2．定义 若 称为f(x)在x=x0处的左导数， 若 称为f(x)在x=x0处的左导数， 定理 . 这个定理是判断在分界点x0两侧表达式不同的分段函数在x0处是否可导的一种方法。 例 若（1）（2）两式的极限存在且相等，则f(x)在x=x0处可导，否则f(x)在x=x0处不可导 若 研究f(x)在x=x0处是否可导就不必用左右导数的定义，只须用导数定义，即 如果（3）式极限存在，则f(x)在x=x0处可导，否则f(x)在x=x0处不可导。 3．几何意义 若f(x0)存在，则f(x0)表示曲线y=f(x)上点处切线的斜率 且 切线方程为 ； 法线方程为 。 若f(x0)=0，此时切线方程为y=f(x0)，法线方程为x=x0。 可导与连续关系 若f(x)在x0处可导，则f(x)在x0处连续，反之不一定。 例如 f(x)=|x|在x=0处连续，但在x=0处不可导。 逆否定理 若f(x)在x0处不连续，则f(x)在x0处不可导。 这个定理为判断f(x)在x0处是否可导提供了一个简便方法：如果f(x)在x=x0处极限不存在或不连续，则f(x)在 x=x0处不可导，就不必用导数定义去验证了。 4．若f(x)在区间X上每一点都可导，即， 按函数定义知f(x)是区间X上的函数，称为f(x)在区间X上的导函数或简称为导数。 如果求出了区间X上的导函数，则. 证 由 由此可知求f(x)在x=x0处的导数有两种方法： （1）用定义 （2）若能求出f(x)或f(x)已知且f(x)在x=x0处有意义，则f(x0)=f(x)| x=x0。 根据具体情况选用一种方法。 二、有关的定理与公式 1．导数的四则运算 设u=u(x)，v=v(x)在点x处可导，则u±v ，在点x处可导，且 （1）； （2）；特别地 v=c（常数），； （3）,特别地 2．反函数求导法则 设y=f(x)为函数的反函数，若在点y0的某邻域内连续，严格单调且，则f(x)在点可导，且。 推论 设y=f(x)为函数的反函数，若严格单调且存在且 。 3．复合函数求导法则 设函数在x=x0处可导，y=f(u)在处可导，则复合函数处可导且 推论：若可导，y=f(u)可导，则可导且 . 导数是解决问题的工具，复合函数的求导特别重要，要真正理解并掌握，因为我们遇到的函数大多数是复合函数，只有掌握复合函数求导，才能准确求出导函数，大家要学会所谓的“层层剥皮”法，即把所给复合函数写成，要求f(u)是基本初等函数，即f(u)可求出，从而 若直接能求出，从而就求出了复合函数的导数，若又是复合函数，又可把，要求g(u)是基本初等函数，即g(u)可求出，从而 若h(x)直接能求出，从而求就出了，也求出，若h(x)又是复合函数，再如此下去…直到最后一个内函数或者是基本初等函数或者是简单函数（由基本初等函数经过四则运算得到的函数），就是最后一个内函数导数可求出来，从而就求出原函数的导数。即反复利用两个函数复合的