D中值定理及导数应用.docVIP

§2.3 中值定理、泰勒公式 一 内容提要 1．中值定理 费尔马引理 在极值点可导. 罗尔定理 ； 拉格朗日中值定理 ； 柯西中值定理 . 推论 如果函数在区间I上导数恒为零，那么在区间I上是一个常数. 三个中值定理的关系： 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 应用范围： （1）关于一个函数的增量和导数之间的证明，一般用拉格朗日中值定理。 （2）关于方程实根的存在性问题，一般用罗尔定理。 （3）关于两个函数的增量和导数之间的证明，一般用柯西中值定理。 （4）要证明等式常数，只要证明 （5）关于一个函数增量的不等式的证明，一般用拉格朗日中值定理。 2. 泰勒公式 条件:在附近具有阶导数 公式:= ，介于和之间． 当时,称为麦克劳林公式. 几个常见函数的麦克劳林公式: ； ； ； ； . 二 典型例题分析 例1 单项选择题: (1)设在内有界、可导，则 ． （A）； （B）； （C）； （D）． (2)设在内二阶可导，严格单调减，，则 ． （A）在内，；（B）在内，； （C）在内，，在内，； （D）在内，，在内，． (3)若，则 ． （A）0； （B）6； （C）36； （D）． 例2 设在内可微，，. 求的值． 设在上有二阶导数，，.证明存在互异的，分别使 注：（1）设在上有二阶导数，，.试证：（1）在内；（1）存在，使 （2）设,在内有二阶导数且最大值相等，.证明存在，使 例4 设在上连续且非负．证明： (1)存在，使得在上以为高的矩形面积等于在上以为曲边的曲边梯形面积； (2)若在内可导,且,则(1)中的是唯一的. 注:设.求证:存在，分别使, 例5 设,在内可导,且.证明: (1)存在，使得； (2) ,使得. 例6 若在上连续，在内可导，.若存在, 求证： 在内； 存在一点，使； (3) 存在与互异的一点，使． 例7 设,且.证明：存在，使． 类题：设,且.（1）写出一阶Maclaurin公式，余项为Lagrange型；（2）证明：存在，使． 例8. 设在附近有二阶连续导数，且. 求证：存在唯一一组，使时，是比高阶的无穷小. §2.4 导数应用 一. 考点一：单调性及应用 知识点：1.判别单调性 若对，都有（），则在内单调增（单调减）． 2. 证明不等式 3. 判定方程根的个数（设连续） 方法：（1）求出函数的单调区间；（2）在每个单调区间讨论根的存在性。 例1. 单选题 (1) 设0，且可导， 则当时( ) A (A) ； (B) ； (C) ；(D) . (2) 在内方程,则方程( ) C (A) 无实根； (B) 恰有一个实根；(C) 恰有2个实根 ；(D) 有无穷多实根. 例2. 证明不等式: (1)时, ; (2)时,; (3)时, . 二. 考点二：极值与最值 (一)内容与知识点： 1.极值定义 2.极值的必要条件: 为极值，且存在. 3.极值的充分条件: 第一充分条件：设在点及其附近一阶可导，． 1）当经过时，左“+”右“—”，则为极大值． 2）当经过时，左“—”右“+”，则为极小值． 第二充分条件：设在点及其附近二阶可导，．则 当时，为极大值；当时，为极小值． 第三充分条件：设在某邻域内具有n+1阶导数，若 ，，则当n为偶数时是极值，当n为奇数时不是极值. 4.求最值的一般原则:设 (1)为的临界点} 为的临界点} (2)若,则;若,则. (3) 若在内有唯一极值,且为极大值,则; 若在内有唯一极值,且为极小值,则. (4)若由实际问题知可导函数在内有最大值(或最小值),且内有唯一极值点,则(或m). (二). 典型例题 例1.单选题 (1)设在内连续,极大,则在内( ) C (A) ； (B) ； (C) ；(D) . (2)设连续,如图,则有( ) C (A) 一个极小值,两个极大值； (B) 两个极小值,一个极大值； (C) 两个极小值,两个极大值； (D) 三个极小值,一个极大值. 例2. 设: (1) 若在有极值,试证它为极小值; (2) 若是极值,它是极大值还是极小值? 例3. 证明时,的最大值. 三. 考点三：凹凸,拐点,曲率及作图 (一)内容与知识点： 1.凹凸性 (1)定义，称在内图形是凹(凸)的． (2)判别 若在内，则的图形是凹的；若在内 ，则的图形是凸的． 2.拐点 (1)定义:连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点． (2)必要条件: 连续，是拐点，则． (3)充分条件:若在点的两边，变号，则是拐点． 3.曲率K与曲率半