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专题：导数单元测试 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. ★设，则等于（ ） A． B． C． D． 2.★★ 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 3. ★★函数在上（ ） A．有最大值，最小值B．有最大值，最小值 C．没有最大值和最小值D．有最大值，但是没有最小值 4. ★★★如果说某物体作直线运动的时间与距离满足，则其在时的瞬时速度为（ ） A． B． C． D． 5.★★ 对于任意，有，，则此函数为（ ） A． B． C． D． 6. ★★抛物线在横坐标为的点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 7. ★★★函数，则函数（ ） A．在内是增函数 B．在内是减函数 C．在内是增函数，在内是减函数D．在内是减函数，在内是增函数 8. ★★★设函数在上是减函数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9. ★★★三次函数当时有极大值4，当时有极小值0，且函数过原点，则此函数是（ ） A．B．C．D． 10.★★★函数在上的最小值为（ ） A． B． C． D． 11. ★★★点在曲线上移动时，过点的切线的倾斜角的取值范围是（ ） A．B．C．D． 12. ★★★★方程的实解的集合中（ ） A．至少有个元素B．至少有个元素C．至多有个元素D．恰好有个元素 二、填空题：本大题共4小题，第小题5分，共20分。 13.★★★曲线与直线相切，则实数 。 14.★★★函数的单调增区间为 。 15.★★★函数的导数= 。 16.★★★★已知函数是定义在区间上的奇函数，且对于，恒有成立，若，则实数的取值范围是 。 三、解答题：本大题6小题，共70分 17. ★★★（本题满分10分）求过曲线上点且与过这点的切线垂直的直线方程。 18. ★★★★（本题满分10分）已知函数，当且仅当，时取得极值，且极大值比极小值大，求的值。 19.★★★★（本题满分12分）设函数，，求正数的取值范围，使对于任意都有不等式成立。 20.★★★★ (本小题满分12分)已知函数在点处有极小值，试确定的值，并求出的单调区间。 21.★★★★（本题满分12分）已知函数，（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意的，恒成立，试求实数的取值范围。 22. ★★★★(本小题满分14分) 要做一个长方体的带盖的盒子，其体积为，其底面两邻边长之比为，则盒子的长、宽、高各为多少时，才能使其表面积最小？ 参考答案 1．解析：，∴。故选。 2．解析：，∴，，∴。故选。 3．解析：，由得或，又，∴得为两极值点，，，又，，故最大值为，最小值为，故选。 4．解析：，∴，∴，故选。 5．解析：选项均不符合，故选。 6．解析：，则切线的斜率为，∴切线的方程为：。故选。 7．解析：，令得。故选。 8．解析：，令，根据题意有，得。故选。 9．解析：符合的只有项，故选。 10．解析：，当时，恒大于，当时，恒小于，∴在时取得极小值，故选。 11．解析：，∴，∴。故选。 12．解析：研究函数，则，函数在上恒为增函数，∴函数和轴到多有一个交点。故选。 13．解析：，由得，时，时，，∴两切点为和，代入得。 14．解析：得，∴，∴的单调区间为。 15．解析：。 16．解析：由题意知函数在上是减函数，∵函数在区间上是奇函数， ，所以，∴，则。 17．解析：，∴切线的斜率为，因此所求直线的斜率为，因此所求直线方程为，即。 18．解析：，∵当且仅当，时取得极值，所以：一方面=，即；另一方面，由于，所以，。所以，必在取得极大值，在取得极小值，所以，即，与联立，解得，。 19．解析：，令，则，当时，，当时，，∴是其唯一的极值点，故在时，取得最小值，要使恒成立，只要即可，解得。 20．解析：，由已知得：，即，∴，∴函数解析式为：，∴，令，得或，则在和上为增函数，令，得，则在上为减函数。 21。解析：（1）当时，，，当时，，∴在是增函数，∴函数在上的最小值为。（2），①若，则当时，，在上是增函数，∴函数在上的最小值为。由得，∴。②若，由得或，∴在上是增函数，由得，∴在上是减函数，∴在上的最小值为，∴恒成立，综上，时对任意，恒成立。 22．解析：设底面较短的边长为，则另一边为，又箱子高为，则，设其表面积为，则，令，则，且当时，时，当时，，∴在时