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冷世平之教案设计【高二下】 第一章导数及其应用第4课时 PAGE  PAGE 15 课题：§3.3.1函数的单调性与导数 知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系 2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间 过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法 2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想。 情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。 教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。 教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。 教学过程 一、复习回顾 复习 1、导数的几何意义；复习2：函数单调性的定义，判断单调性的方法，（图像法，定义法） 【思考1】判断的单调性，如何进行？（分别用图像法，定义法完成） 【思考2】如何判断的单调性呢？ 引导学生图像法，定义去尝试发觉有困难，引出课题。板书课题：函数的单调性与导数 二、新知探究 【探究1】函数单调性与其导数的关系： 【问题1】如图⑴表示高台跳水运动员的高度随时间变化的函数的图像，图⑵表示高台跳水运动员的速度的图像。通过观察图像, 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？此时你能发现和这两个函数图像有什么联系吗? 【分析】通过观察图像，我们可以发现： ⑴运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数。相应地， ； ⑵从最高点到入水，运动员离水面的高随时间的增加而减少，即是减函数．相应地，。 【问题2】观察图⑴～图⑵，探讨函数与其导函数是否也存在问题⑴的关系呢？ 【分析】观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与其导数正负的关系。 ⑴函数的定义域为，并且在定义域上是单调递增，其导数； ⑵函数的定义域为，在上单调递减，在上单调递增；而，当时，其导数；当时，其导数；当时，其导数。 ⑶函数的定义域为，在定义域上单调递增；而，若，则其导数，当时，其导数； ⑷函数的定义域为，在上单调递减，在上单调递减，而，因为，显然。 【问题3】通过对问题1和问题2的观察，你能得到原函数的单调性与其导函数的正负号有何关系？你能得到怎样的结论？ 【总结】以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间内，如果函数在这个区间内单调递增，那么；如果函数在这个区间内单调递减，那么。特别的，如果，那么函数在这个区间内是常数函数。 【思考】能推出为增函数，反过来成立么？ 【分析】能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但是为增函数的充分不必要条件。若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。∴当时，是为增函数的充分必要条件。为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。是为增函数的必要不充分条件。 【理解】⑴在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能要定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间； ⑵划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点； ⑶如果一个函数具有相同的单调性的单调区间不止一个，这些单调区间中间不能用“”连接，而只能用“逗号”、“和”、“与”隔开； ⑷注意在某一区间内或是函数在该区间上为增或减函数的充分不必要条件，而不是充要条件；例如，是上的可导函数，也是上的单调递增函数，但当时，； ⑸若函数在某区间内恒有，则为常数函数。 函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。 ◆求解函数单调区间的步骤： ⑴确定函数的定义域； ⑵求导数； ⑶解不等式，得到函数的单调递增区间； ⑷解不等式，得到函数的单调递减区间。 三、典例精析： 若在上连续，在内可导，且时，,又,则【】 在上单调递增，且； 在上单调递增，且； 在上单调递减，且； 在上单调递增，但的符号无法判断。 函数的单调减区间为 三次函数在内是增函数，则【】 若函数的减区间为，则的范围是【】 设是函数的导数, 的图象如图所示, 则的图象最有可能是( ) 函数的图象过原点且它的导函数的图象是如图所示的一条直线,