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§11统计与导数 《高中数学学案教学方法的研究》课题组编写 南化一中高三数学第三轮复习讲义11 高中数学基础知识整理篇 PAGE 2 - - PAGE 1 §11统计与导数 一、统计 1．总体、个体、样本、，样本个体、样本容量的定义； 2．抽样方法 （1）简单随机抽样（括随机数表法，标签法）——从个总体中抽取容量为的样本，则每一个个体被抽到的概率为. （2）分层抽样. 3．样本平均数（数学期望）： 4．样本方差：S2?=[(x1－)2+(x2－)2+ (x3－)2+…+(xn－)2] 样本标准差：s=，作用：估计总体的稳定程度 5．理解频率直方图的意义（总坐标为），会用样本估计总体的期望值和方差，用样本频率估计总体分布。 二、导数 １．多项式函数的求导法则： （1）(c)/=0，这里c是常数，即常数的导数值为０. （2）(xn)/=nxn－1，特别地：(x)/=1. 2．导数的运算法则 （1）(f(x)±g(x))/= f/(x)±g/(x) （2）(k?f(x))/= k?f/(x)（k为常数） 3．导数的几何物理意义： （1）几何意义：k＝f/(x0)表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）V＝s/(t)表示即时速度，a=v/(t) 表示加速度。 4．导数的应用： （1）求切线的斜率。注意“曲线在点P处的切线”还是“曲线过点P的切线”的区别！！！ （2）导数与函数的单调性的关系（较高要求，供参考） ①与为增函数的关系：能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。 ②时，与为增函数的关系：若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有.∴当时，是为增函数的充分必要条件。 ③与为增函数的关系： 为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。 函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。 单调区间的求解过程：已知 ①分析的定义域； ②求导数 ； ③解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；解不等式，解集在定义域内的部分为减区间。（或用列表法，见课本） 我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数在某个区间内可导。 （3）求极大、极小值：已知 ①分析的定义域； ②求导数 ； ③求解方程（设有根）； ④列表判断个区间内导数的符号，判断是否为极值，如果是，是极大还是极小值。 注意：f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值；但是，当x=x0时，函数有极值 f/(x0)＝0 （4）求函数在某闭区间[a,b]上的最大、最小值 ①②③同上； ④比较、、，最大的为，最小的为. 注意：极值≠最值；最值问题一般仅在闭区间上研究（实际应用题除外，即应用题中有开区间问题）. 5.导数的综合应用 （1）刻画函数（比初等方法精确细微）； （2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）； （3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于次多项式的导数问题属于较难类型； （4）导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。