偏导数的物理几何意义.docVIP

偏导数的物理几何意义 一 偏导数的定义 在研究一元函数时.我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论它的变化率.但多元函数的变化量不只一个,因变量与自变量的关系要比一元函数复杂的多.所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率,以二元函数 = 为例,如果只有自变量 变化,而自变量y固定(即看作常量),这时它就是 的一元函数,这函数对x的导数,就称为二元函数z对于 的偏导数,即有如下定义 定义 设函数z= 在点 的某一邻域内有定义,当y固定在 ,而 在 处有增量 时,相应的函数有增量 - , 如果 (1) 存在,则称此极限为函数 = 在点 处对 的偏导数,记做 , , ,或 例如,极限(1)可以表为 = 类似的,函数z= 在点 处对 的偏导数定义为 记做 , , 或 如果函数 = 在区域D内每一点( )处对 的偏导数都存在,那么这个偏导数就是 的函数,它就称为函数 = 对自变量 的偏导函数,记做 , , ,或 类似的,可以定义函数 = 对自变量 的偏导函数,记做 , , ,或 由偏导数的概念可知, 在点 处对 的偏导数 显然就是偏导函数 在点 处的函数值,就像一元函数的导函数一样,以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数. 至于求 = 的偏导数,并不需要用新的方法,因为这里只有一个自变量在变动,另外一个自变量看作是固定的,所以仍旧是一元函数的微分法问题,求 时,只要把 暂时看作常量而对 求导;求 时,则只要把 暂时看作是常量,而对 求导数. 偏导数的概念还可以推广导二元以上的函数,例如三元函数 在点( )处对 的偏导数定义为 = 其中( )是函数 的定义域的内点,它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题 例 求 的偏导数 解 = , = 二 偏导数的几何意义 二元函数 = 在点 的偏导数的几何意义 设 为曲面 = 上的一点,过 点作平面 ,截此曲面得一曲线,此曲线在平面 上的方程为 = ,则导数 ,即偏导数 ,就是这曲线在 点处的切线 对 轴的斜率.同样,偏导数 的几何意义是曲面被平面 所截得的曲线在点 处的切线 对 的斜率 三 偏导数的几何意义 我们知道,如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续,但对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P 时,函数值 趋于 ,但不能保证点P按任何方式趋于 P 时,函数值 都趋于 .例如,函数 = ={ 在点(0,0)对 的偏导数为 同样有 但是我们在前面的学习中知道这函数在点(0,0)并不连续 四 二阶混合偏导数 设函数 = 在区域D内具有偏导数 = , = 那么在D内 , 都是 的函数.如果这里两个函数的偏导数也存在,则它们是函数 = 的二阶偏导数,按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数: , , 其中第二 ,第三个偏导数称为混合偏导数 例2 设 ,求 , , , , 从例子中,我们看到两个二阶混合偏导数相等,即, = 我们再看用maple作求的图形 第一个图形为 第二个图形为 从图中我们看到两个连续的偏导函数，它们是相等的 这不是偶然的,事实上我们有下述定理 定理 如果函数 = 的两个二阶混合偏导数 及 在区域D里连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必定相等 换句话说,二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关