附录：张量讲述.ppt

内容梗概 【坐标变换揭示各类量的性质、张量方程的特点等】 张量分析引论 ? 力学中常用的物理量分成三类： ?标量——只有大小没有方向性的物理量： 温度T、密度ρ、时间t等。 ?矢量——既有大小又有方向性的物理量： 矢径r、位移u、速度v、力F等。 ?张量——具有多重方向性的物理量：应力张量σ、应变张量ε等（常用黑体表示） §A.1 矢量和张量的记法，求和约定 张量分析以简洁的表达形式和清晰的推导过程描述复杂问题，被近代力学文献和教科书普遍采用。 本附录着重介绍笛卡儿坐标系和正交曲线坐标系中的张量。 (1)实体记法： u (3)分量记法： ui(i＝1，2，3)的集合 张量是具有多个分量的复杂物理量，为表达简洁，需引入一些记号和约定 指标符号： 对于一组性质相关的n个量用相同的字母加不同的指标符号来表示 约 定：若不标明取值范围 拉丁指标i,j,k,…∈3D（取值1，2，3） 希腊指标α,β,… ∈2D（取值1，2） 指标符号 ? a的n个分量 al，a2，…，an (比如n维空间中的加速度) 可缩写成 ai(i＝1，2，…，n) ? i＝1，2,…n;为指标的取值范围；n是空间维数 举例—— 通过哑指标可把多个项缩写成一项 代数方程组求解、坐标变换，及一点处的应力、应变等，都含有大量的分量；利用指标符号可以大大地简化表达式。 爱因斯坦(A．Einstein)求和约定： 如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则该项在该指标的取值范围内 遍历求和。该重复指标称为哑指标，简称哑标（如j）。 一、求和约定、哑标 【利用哑标可把多个项缩写成一项】 二、自由标 自由指标：在表达式或方程中的不同项内重复出现的同名指标 自由指标只表示对取值范围轮流取值，无论其取何字母，关系式始终成立； 通过自由指标又把多个方程缩写成一个方程 换自由指标时应注意—— (1)同时取值的指标必须同名，独立取值的指标应防止重名 例： c=a+b=(a1+b1)e1+(a2+b2)e2+(a3+b3)e3 ? ci=ai+bi 或 ck=ak+bk 【指标符号的正确用法】 ? 指标符号也适用于微分表达式。例如，三维空间中线元长度ds和其分量dxi之间的关系 三、其他应用举例 如果ai特定取值时(A．12)式可成立，如 可取(a1，a2，a3)=(1，0，0) ? b1 ＝c1 ∑：通过哑指标可把多个项缩写成一项，通过自由指标又把多个方程缩写成一个方程。 指标符号使书写简洁，但也必须小心，因为许多重要的含义往往只表现在指标的细微变化上。 ≠ 同理，若取(a1，a2，a3)=(0，1，0) ? b2 ＝c2 (a1，a2，a3)=(0，0，1) ? b3 ＝c3 所以(A．13)式成立的前提是“ai任意”而不是简单地“消去ai” 本节介绍两个张量分析中的常用符号 § A.2 符号δij与erst δij起换标作用：如果δ符号的两个指标之一和同项中其他因子的某指标相重，则该因子的那个相重指标可替换成δ的另一个指标，而δ自动消失。 ＝ δ11dx1dx1+δ22dx2dx2+δ33dx3dx3 ＝ dx1dx1+dx2dx2+dx3dx3＝ dxidxi 二、排列（置换）符号erst ?有一对哑标，如r=i，则按行列式展开 ?有二对哑标，如再令s=j，则 1．正交标准化基，具有重要性质： 其中，i，j，k的正序排列对应右手系，逆序排列对应左手系。 三、 δij与erst的应用实例： r,s,t正排列 r,s,t逆排列