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北大附中高考数学专题复习导数与微分经点答疑(三)
学科:数学教学内容:导数与微分经点答疑(三)
例8 设
思路启迪 利用三角函数的关系,将secx写成,再利用商的求导法则及cosx的导数公式即可求出
规范解法
由上例得
类似地可得
例9 设
规范解法 y=sin2x=2sinxcosx.由法则2得
从上面的例子可以看出,y=sin2x是一个复合函数,它由两个函数y=sinu与u=2x复合而成,sin2x的导数是2cos2x而不是cos2x,那么sin2x的导数与sinu的导数和u=2x的导数是什么关系呢?由于,而,即y对x的导数等于y对中间变量u的导数再乘以中间变量u对x的导数.一般地,我们有复合函数的求导法则(4)
法则(4)设函数在点x可导,函数y=f(u)在其对应点也可导,则复合函数在点x可导,且y对x的导数等于y对中间变量的导数再乘以中间变量对自变量x的导数.即:
证明:设自变量x有增量△x(△x≠0)时,中间变量u和函数y分别有相应增量△u与△y,由于在x处可导,从而连续,即有.
重复应用法则(4),我们可以把复合函数求导法则推广到多次(有限次)复合的情形,如设
[注:求复合函数的导数,首先要把复合函数进行“分解”,即找出它是由哪几个“简单函数”复合而成.这里的“简单函数”是指基本初等函数或多项式函数.因为导数基本公式中都是基本初等函数的导数,而多项式函数是幂函数的线性组合,其导数也易求.然后再利用复合函数的求导法则和导数的基本公式即可.如果“分解”得不彻底,即“分解”出来的函数不是基本初等函数或“多项式”函数,则在利用法则和公式时就要出现错误.]
例10
思路启迪 该函数可以分解成两个函数,对于这两个函数的导数可利用公式.只要正确运用复合函数求导法则及相应公式即可.
规范解法 设u=4x-1,则可看作是由复合而成的,由复合函数的求导法则得:
例11
规范解法 设u=cosx,则可看作是由与u=cosx复合而成,由复合函数的求导法则得
例12
思路启迪 函数y=sinlnx是由函数y=sinu与u=lnx复合构成.这里写出中间变量u只是为了初学者正确使用复合函数求导法则,其实,在复合函数求导法则运用熟练以后,中间变量就不必再写出来,但复合关系一定要清楚,并且心中记住复合函数求导的过程.
规范解法
例13
思路启迪 函数
规范解法
例14
思路启迪 该函数是由两个函数复合而成,求y对x的导数,先求y对u即对求导,再乘以u即对x的导数.
思路启迪 利用恒等式将写成,则可看用由与两个函数复合而成.
求由多个函数经多次复合而成的复合函数的导数时,就要多次地应用复合函数求导法则.
.
分析上例,怎样逐次地应用复合函数的求导法则呢?应先对给定的函数进行分析,当取什么函数作为中间变量(不必写出,心中清楚)时,给定的函数对此中间变量求导并利用导数公式.本例是把看作中间变量,给定的函数就可应用幂函数的导数公式,根据复合函数求导法则,有:
这时中间变量仍是变量x的复合函数,重复刚才所说的方法,本例是把看作中间变量,可利用正弦函数的导数公式,由复合函数的求导法则有:
逐次地作下去,直至最后一个中间变量对x求导数为止(本例最后一个中间变量即为).
从上面分析看到,要逐次地应用复合函数求导法则,关键在于选择中间变量,选择的原则是某个函数做中间变量时,给定的函数变可应用导数公式.
思路启迪 可看作复合而成,而是由x与两个函数的和所构成,可看作是与复合而成.
规范解法
思路启迪 由于x≠0与x=0时函数的结构不相同,因此须用导数定义求解法.
[注:一般情况求分段函数的导函数可以按照以下步骤来完成.
①若函数在各段开区间为可导,应分别求出它在各区间内的导数.
②判断分段点处的可导性.
(Ⅰ)若函数在点不连续,则它在点不可导.
(Ⅱ)若函数在点连续,按分段点左、右侧的不同解析式分别求出其左、右导数.
当左、右导数存在并且相等时,则函数在点可导;
当左、右导数存在,但不相等;或其中至少有一个导数不存在,则在点就不可导].
例23 证明可导的偶函数的导函数为奇函数,而可导的奇函数的导函数为偶数.并对这个事实加以几何解释.
思路启迪 要证明一个函数是奇数,需证明,有f(-x)=-f(x),而要证明一个函数是偶函数,需证明f(-x)=f(x).
规范证法 设f(x)为偶函数,则对x∈R有f(-x)=f(x),
同理可证:可导的奇函数的导函数为偶函数.
这个事实说明:凡对称于Oy轴的图形,其对称点的切线也关于Oy轴对称;凡关于原点对称的图形,其对称点的切线相互平行.
思路启迪 是由sinnx与两个函数所构成;而是由sinu与u=nx复合而成;是由与复合而成.
规范解法
例25 设函数
讨论:(1)n取何值时,f(x)在x=0连续
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