随机变量及其分布讲述.ppt

 第 四 章  随 机 变 量 及 其 分 布 二、分布函数的概念 一、随机变量的概念 三、例题讲解 第4.1节 随机变量及分布函数 四、小结 一、随机变量的概念1.随机变量的引入 （1）为什么要引入随机变量？ 概率论是从数量上研究随机现象内在规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的方法进行研究，因此为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机事件数量化，把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时，就建立起了随机变量的概念。 （2）随机变量的引入 实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球，观察摸出球的颜色 可采用下列方法 X (e) 即有 X（红色）=1，X（白色）=0 这样便将非数量的 数量化了。 实例2 抛掷骰子，观察出现的点数，则有 样本点本身就是数量 X(e)=e 恒等变换 X(1)=1,X(2)=2,X(3)=3,X(4)=4,X(5)=5,X(6)=6 定义 设E是一随机试验，? 是它的样本空间， 则称 ? 上的单值实值函数 X ( ?)为随机变量 （random variable） 随机变量一般用 X, Y , Z ,?或小写希腊字母 ?, ?, ? 表示 2. 随机变量的概念 　　随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此随机变量的取值也有一定的概率规律. (2)随机变量的取值具有一定的概率规律 　　随机变量是一个函数 , 但它与普通的一元函数有着本质的差别 ,普通一元函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数). 说明 (1)随机变量与普通的函数不同 （3）随机变量与随机事件的关系 随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内。或者说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象。 所以，随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件，引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究。 实例 3 掷一个硬币, 观察出现的结果 , 共有两种 情况: 若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有 即 X (e) 是一个随机变量. 实例4 在有两个孩子的家庭中，考虑其性别，共有4个样本点： 实例5 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8，现该射手不断向目标射击，直到射中目标为止，则X(e)=“所需射击次数”是一个随机变量，且X(e)的所有可能取值为1，2，3，‥‥‥ 实例6 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，如果某人到达该车站的时刻是随机的，则X(e)=“此人的等车时间”是一个随机变量，且X(e)所有可能的取值为[0,5]. 3.随机变量的分类 （1）离散型 随机变量所有可能值是有限多个或可列多个，叫做离散型随机变量。 实例1 观察一个骰子出现的点数，随机变量X的可能值是1，2，3，4，5，6 实例2 若随机变量X记为“连续射击，直至命中时的射击次数”，则X的可能值是1，2，3‥‥‥ （2）连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间，叫做连续型随机变量。 实例 随机变量 X 为“灯泡的寿命”，则 X 的取值范围为[0,+?). 二、分布函数的概念 为了对随机变量r.v（random variable）给出一种统一的描述方法，下面引进分布函数的概念. 如果将X看作数轴上随机点的坐标,则分布函数F(x)的值就表示X落在区间(-?, x]的概率. 由定义， F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率. 利用分布函数可以计算 证明 2.分布函数的性质 (单调不减性) 证明 所以 即任一分布函数处处右连续. 反过来,如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(4)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件. 三、例题讲解 例2 一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任 一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量 X 的分布函数. 解 于