随机变量的数学期望讲述.ppt

第四章 前面讨论了随机变量的概率分布，它完整地描述了随机变量的概率性质，而数字特征则是由概率分布所决定的常数，它刻划了随机变量的某一方面的性质。在许多实际问题中，分布往往不易求得或不需求得，而只需了解某些数字特征，而数字特征往往容易通过数理统计的方法得到。 这一节先介绍随机变量的数学期望. 在这些数字特征中，最常用的是 期望和方差 §1 数学期望 (Mathematical Expectation) 有甲、乙两射手，他们的射击技术如下表： 一、离散型随机变量的数学期望 例1 甲： 乙： 问哪一个射手水平较高？ 解 假定各射N枪，则平均每枪所得环数约为 甲： 问哪一个射手水平较高？ 解 假定各射N枪，则平均每枪所得环数约为 甲： 乙： 可见甲的水平高些。 甲： 乙： 定义 设离散型随机变量X的概率分布为 若级数 绝对收敛， 则称之为X的数学期望，记为E(X)，即 例2 面额为1元的彩票共发行1万张，其中可得奖金1000元、20元、5元的彩票分别有2张、50张和500张。若某人购买1张彩票，则他获奖金额X的数学期望E(X)为多少？ 解 1000 20 5 0.0002 0 0.005 0.05 0.9448 则 首先要对未来市场作出适当估计。假定企业领导人认为未来市场萧条较之市场繁荣是2对1之比，即市场萧条和繁荣的概率分别为2/3和1/3,因此,如果立即扩展，则利润的期望值是 假定有一个商业企业面临着是否扩大经营问题，根据现有资料估计，如果未来的市场繁荣而现在就进行扩展经营，则一年内可以获利328(万元)；如果未来市场萧条，则将损失80(万元)。如果这个企业等待下一年再扩展，在市场繁荣的情况下，将获利160(万元),而在市场萧条的情况下，则仅能获利16(万元)。现在的问题是，这个企业的领导人将怎样作出决策？ 数学期望在经济管理中经常用到，特别是在决策问题中。 例3 解 市场萧条和繁荣的概率分别为2/3和1/3, 如果立即扩展，则利润的期望值是 如果他决定下一年再扩展，则利润的期望值为 按此计算结果，自然应当以采取推迟扩展的决策为有利。 如果领导人对未来市场的估计不是2:1，而是3:2，那么，他立即扩展所期望的利润为 如果领导人对未来市场的估计不是2:1，而是3:2，那么，他立即扩展所期望的利润为 而推迟扩展所期望的利润为 按此计算结果，则立即扩展较为有利。 例4 (一种验血新技术) 在一个人数很多的单位中普查某种疾病,N个人去验血,有两种方法: (1) 每个人的血分别化验,共需N次；(2) 把k个人的血样混在一起化验,如果结果是阴性,那么一次就够了；如果呈阳性,那么对这k个人的血样再逐次化验,共需k+1次. 假定对所有人来说, 呈阳性的概率为p,且相互独立,下面说明当p较小时,方法(2)能减少化验的次数. 解 用方法(2)验血时,每个人需化验的次数X的概率分布为 用方法(2)验血时,每个人需化验的次数X的概率分布为 因此， N个人需化验的次数的数学期望为 例如， 二、连续型随机变量的数学期望 定义 设连续型随机变量X的概率密度为f(x),如果积分 绝对收敛， 则称之为X的数学期望，记为E(X)，即 例5 解 设随机变量X的概率密度函数为 求X的数学期望。 三、随机变量的函数的数学期望 (1)若X是离散型随机变量，且X的概率分布为 (2)若X是连续型随机变量，且其概率密度为 f(x)， 则 则 上述结论可推广到两个随机变量的函数的情况。 (1) 若(X,Y)是离散型随机变量，且其联合分布律为 则 (2) 若(X,Y)是连续型随机变量，联合概率密度为f(x,y)，则 例6 解 设随机变量X的概率分布如下： 例7 解 设随机变量X的概率密度为拉普拉斯分布 例8 解 设随机变量(X,Y)的联合概率密度为 例8 解 设随机变量(X,Y)的联合概率密度为 四、数学期望的性质 性质1 E(C)=C，其中C是常数。 性质4 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); 性质2 若k是常数，则 E(kX)=kE(X); 性质3 E(X1+X2) = E(X1)+E(X2); (诸Xi 独立时) 注意: E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y 独立 推广： 一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车.如到达一个车站没有旅客下车就不停车. 以X表示停车的次数, 求E(X) (设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立). 引入随机变量 则有 例9 解 由题意, 有 则有 由题意，有 所以 由数学期望的性质，得 练习： P131 习题四