随机过程例题讲述.ppt

例1 已知随机相位正弦波 X (t) = a cos(?t + ?)，其中 a 0，? 为常数，?为在（0, 2?）内均匀分布的随机变量。求随机过程 { X (t), t ?(0, ?) } 的均值函数 mX (t) 和相关函数 RX (s, t) 。 2随机过程的基本概念 例2 设 X (t) 为信号过程，Y (t) 为噪声过程，令W (t) = X (t) + Y (t)， 则 W (t) 的均值函数为 其相关函数为 2随机过程的基本概念 例 求在[0, 1]区间均匀分布的独立随机序列的均值向量、自相关阵和协方差阵，设N=3。 解： Xi 的一维概率密度函数为： Xi 的均值： Xi 的自相关函数： 2随机过程的基本概念 例3 2随机过程的基本概念 例1 设有随机相位过程 X (t) = a sin(?t+?)，a, ?为常数， ?为(0, 2?)上服从均匀分布的随机变量，试讨论随机过程 X (t) 的平稳性。 [解] 因此 X (t)是平稳随机过程。 3平稳过程 例2（白噪声序列） 设 { Xn , n = 0, ?1, ?2, ? } 是实的互不相关随机变量序列，且 E[Xn] = 0，D[Xn] = ?2 ，试讨论随机序列的平稳性 。 [解] 因为: (1) E[Xn] = 0 故 随机序列的均值为常数，相关函数仅与?有关，因此它是平稳随机序列。 3平稳过程 例3 设有随机相位过程 X (t) = a cos(?t+?)，a, ?为常数， ?为(0, 2?)上服从均匀分布的随机变量，试问 X (t) 是否为各态历经过程。 故 X (t) 是为各态历经过程。 3平稳过程 [例4] 设有两个随机过程X (t) = a cos(?t+?) 和Y (t) = b sin(?t+?)，其中a, b, ?为常数， ?为(0, 2?)上服从均匀分布的随机变量，分析X (t)和Y (t)是否联合平稳。 [解] 故 X (t)和 Y (t)均是平稳过程。 所以 X (t)和 Y (t) 是联合平稳的。 3平稳过程 [解] [例1] 设有随机过程 X (t) = a cos(?0t + ?)， 其中 a, ?0 为常数， 在下列情况下，求 X (t) 的平均功率：(1) ? 是在( 0, 2? ) 上服从均匀分布的随机变量；(2) ? 是在( 0, ?/2 ) 上服从均匀分布的随机变量。 (1) 随机过程 X (t) 是平稳过程， 相关函数： 平均功率： (2) 平均功率： X (t) 是非平稳过程 4谱分析 例2 [解] 4谱分析 [解] 例3 设随机序列X(n) = W(n) +W(n-1)，其中W(n)是高斯随机序列，mW=0, RW(m)=?2?(m)，求X(n)的均值、自相关函数和谱密度 GX (?) . 4谱分析 [例4] 如图所示X (t) 是平稳过程，过程Y (t)= X (t)+ X (t?T)也是平稳的，求Y (t) 的功率谱。 [解] 4谱分析 例1 （h(t) 的估计） 设线性系统输入一个白噪声过程 X (t)，其自相关函数为 RX (? ) = N0? (? ) ，则 通过测量互相关函数，可以估计线性系统的单位脉冲响应。 假定过程 X (t) 和 Y (t) 是各态历经的， 5随机信号通过线性系统的分析 [例2] 如图RC电路，若输入白噪声电压 X (t) ，其相关函数为 RX (? ) = N0? (? ) ，求输出电压 Y (t) 的相关函数和平均功率。 [解] 5随机信号通过线性系统的分析 [例3] 如图有两个LTI系统H1(?)和H2(?)，若输入同一个均值为零的平稳过程 X(t) ，它们的输出分别为 Y1(t) 和Y2(t)。如何设计H1(?)和H2(?)才能使Y1(t) 和Y2(t)互不相关？ [解] 互不相关 ? 协方差为零 当两个LTI系统的幅频特性互不重叠时，则它们的输出Y1(t) 和Y2(t) 互不相关。 5随机信号通过线性系统的分析 [例1] 已知仪器在 [ 0 , t ] 内发生振动的次数 X(t) 是具有参数?的泊松过程。若仪器振动k (k ? 1)次就会出现故障，求仪器在时刻 t0 正常工作的概率。 [解] 故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为: 故障时刻就是仪器发生第k振动的时刻Wk ，服从? 分布: 6泊松过程 参数为 n 和 s/t 的二项分布 [例2] 设在 [ 0 , t ] 内事件A已经发生 n 次，且0 s t，对于0 k n ，求在 [ 0 , s ] 内事件A发生 k 次的概率。 6泊松过程 [例3] 设在 [ 0 , t ] 内事件A已经发生 n 次，求第k次(k n) 事件A发生的时间Wk 的条件概率