随机过程与排队论11讲述.ppt

随机过程与排队论 计算机科学与工程学院 顾小丰 Email：guxf@uestc.edu.cn 2017年4月10日星期一 2017-4-10 计算机科学与工程学院　顾小丰 上一讲内容回顾 连续参数马尔可夫链 转移概率函数、转移矩阵 连续参数齐次马氏链 初始分布、绝对分布、遍历性、平稳分布 转移概率函数的性质 状态转移速度矩阵 生灭过程 38－2 2017-4-10 计算机科学与工程学院　顾小丰 本讲主要内容 生灭过程 排队论简介 排队的概念 基本的排队系统 排队系统的基本组成 经典排队系统的符号表示方法 38－3 2017-4-10 计算机科学与工程学院　顾小丰 §3.5 生灭过程 设{X(t),t?0}是连续参数齐次马氏链，状态 空间E＝{0,1,2,…,N}，如果它的状态转移速度矩 阵为 则称{X(t),t?0}为生灭过程。 38－4 2017-4-10 计算机科学与工程学院　顾小丰 生灭过程的转移概率 上述生灭过程{X(t),t?0}的定义可等价地用 转移概率pij(t)表示为： 生灭过程的状态空间可以推广到可数无穷多个状态的情形。 38－5 2017-4-10 计算机科学与工程学院　顾小丰 生灭过程的概率意义 设X(t)表示时刻t时某生物群体的个数，{X(t),t?0}为 生灭过程，由上式可见，在长度为t的一小段时间内，如果 忽略t的高阶无穷小量o(t)后，生灭过程的状态变化只有3 种情况： i→i+1，状态增加1，可理解为“生”了一个个体，其概率为?it，其生长率为?i； i→i-1，状态减少1，可理解为“死”了一个个体，其概率为?it，其生长率为?i； i→i，状态不增不减，群体个数不变，其概率为 1-(?i+?i)t； 状态增加或减少2个或2个以上的概率为0。 生灭过程的所有状态都是互通的，但在有限短时间内，只能在相邻两个状态内变化，或者“生”一个，或者“死”一个，或者状态无变化，故称之为生灭过程。 38－6 2017-4-10 计算机科学与工程学院　顾小丰 生灭过程的状态转移速度图 ?1 ?0 … … ?2 ?3 ?4 ?n-1 ?n ?n+1 ?1 ?n ?n-2 ?n-1 ?2 ?3 38－7 2017-4-10 计算机科学与工程学院　顾小丰 生灭过程满足的柯尔莫哥洛夫方程 柯尔莫哥洛夫后退方程：P’(t)＝QP(t)，P(+0)＝I(单位阵) 柯尔莫哥洛夫前进方程： P’(t)＝P(t)Q，P(+0)＝I 38－8 2017-4-10 计算机科学与工程学院　顾小丰 福克－普朗克方程 绝对概率满足福克－普朗克方程： (1) 推广到无限状态E{0,1,2,…,n,…}为： (2) 38－9 2017-4-10 计算机科学与工程学院　顾小丰 福克－普朗克方程解的存在性 对有限状态E＝{0,1,2,…,N}的生灭过程，若满足pj(t)?0， ，则对任给的初始条件，方程组 (1)的解存在、唯一，而且 对可列无限状态E＝{0,1,2,…,n,…}的生灭过程，若 而且满足pj(t)?0， ，则对任给的初始条件， 方程组(2)的解存在、唯一，且 38－10 2017-4-10 计算机科学与工程学院　顾小丰 极限定理 对有限状态E＝{0,1,2,…,N}的生灭过程，{?j，j=0,1, 2,…,N}存在，与初始条件无关，且 即{?j，j=0,1,…,N}为平稳分布。 对可列无限状态E＝{0,1,2,…,n,…}的生灭过程，若有条件 成立，则{?j，j=0,1,2,…}存在，与初始条件无关，且 令 ?j0， 及 ，即{?j，j=0,1,…,n,…}为平稳分布。 ?j0， 38－11 2017-4-10 计算机科学与工程学院　顾小丰 有限状态生灭过程的平稳分布 有限状态E={0,1,2,…,N}的生灭过程{X(t),t?0}是遍历的齐次连续参数马氏链。生灭过程存在极限分布即为平稳分布?＝{?j,j?E}。 ?Q＝0 即 38－12 2017-4-10 计算机科学与工程学院　顾小丰 有限状态生灭过程的平稳分布的解 解得生灭过程{X(t),t?0}，E={0,1,2,…,N}的平稳分布?＝{?j,j?E}为： 当?0＝ ?1＝ … ＝?N-1＝ ?，?1＝ ?2＝ …＝ ?N＝ ?时，有 38－13 2017-4-10 计算机科学与工程学院　顾小丰 无限状态生灭过程的平稳分布 无限状态E={0,1,2,…,}的生灭过程{X(t),t?0}若满足 是遍历的齐次连续参数马氏链。生灭过程存在极限分布即为平稳分布?＝{?j,j?E}。 ?Q＝0 即 及 38－14 2017-4-10 计算机科学与工程学院　顾小丰 无限状态生灭过程的平稳分布