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南京大学高等代数考研冲刺资料与历真题解
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2014南京大学高等代数考研冲刺资料与历年真题解析
矩阵
矩阵的运算
1.加减法
(1)定义1:设,则称为与的和,记为
注意:有相同的行数和列数的两个矩阵才能相加。
(2)运算规律:结合律:
交换律:
(3)零矩阵与负矩阵:元素全为零的矩阵称为零矩阵,记为或。
显然对所有的矩阵,
设则称为的负矩阵,记为
(4)减法的定义:
注:秩秩+秩需会用至少两种方法证明。
2.乘法
(1)定义2:设则称为与的乘积,记为其中。
(2)运算规律:设则。
例3:
则
,
显然
注:
= 1 \* GB3 ①一般地,.若,称与可交换.(此时为同级矩阵)
= 2 \* GB3 ②未必或.即且.有可能.
= 3 \* GB3 ③未必.(不适合消去律)如
,但.
(3)定义3(级单位矩阵)(主对角线上的元素全是1,其余全是零的矩阵)
(称为级单位矩阵,记为)或在不致引起含混的时候简单写为。
显然有,, (单位矩阵乘法中地位与数1在数的乘法中的地位类似。)
(4)矩阵的乘法和加法运算适合分配律。即,。
(5)矩阵的方幂
设是一个矩阵,定义,。换句话说,就是个相乘。
注意:因为矩阵的乘法不适合交换律,所以与一般不相等。
3.数量乘法
(1)定义4:设,为数域中的数,称为与数的数量乘积。换句话说,数乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘以。
(2)(3)数量矩阵:。
4.转置
(1)定义5 设,称为的转置。
(2)运算规律:
例:证明:如果是实对称阵且,那么。
证明:设为实对称阵,则为实数,且
由得:
取的对角线上元素有:
而为实数。故,,因此,即
科目代码:801
科目名称:高等代数
招生专业:基础数学专业、计算数学专业、概率论与数理统计专业、应用数学专业、
运筹学与控制论专业
注意:①所有答案必须写在答题纸或答题卡上,写在本试题纸或草稿纸上均无效;
②本科目不允许使用计算器;
③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回!
一、判断题(本题共10小题,每小题4分,共40分)
判断下列陈???是否正确,并说明理由。
1.设是数域,,则的最大公因式当且仅当存在,使得。
2.如果多项式的根都是多项式的根,则。
3.设是有理数域上的多项式,并且是二次多项式,则在有理数域上有三重根。
4.如果实系数多项式无实根,则在实数域上不可约。
5.对任意的实矩阵,方程与方程的解集相等。
6.设是一个级矩阵,如果对于任何维向量,都有,则为零矩阵。
7.设是一个级是对称矩阵,如果的所有顺序主子式都大于或等于零,则为半正定矩阵。
8.所有级半正定矩阵所组成的集合是一个凸锥。
9.设是一个级矩阵,如果存在一个整数使,则的特征值都为零。
10.设是一个非零的维实列向量,。则是正交矩阵并且是的重根。
二、填空题(本题共6分,每小题5分,共30分)
1.设,其中是每个分量都为的四维列向量。则矩阵的全部特征值为 ,相应的特征向量是 。
2.设矩阵可逆且,则的伴随矩阵 。
3.设行列式中元素的代数余子式,则 。
4.设线性无关,,,,则线性相关的充要条件是 。
5.设行列式,则中的系数为 ,常数项为 。
6.设齐次线性方程组有非零解,为实数,则 。
三、计算和证明提(共有6题,每题的分都在题前注明,共80分)
下面提到的矩阵与向量都指实数域上的矩阵和向量。
1.(10分)试从3维欧式空间的一组基出发构造一组标准正交基。
2.(10分)设是一个级矩阵,是一个维列向量。证明:如果,则有。
3.(12分)设是一个矩阵,是一个维列向量。证明有解的充要条件是方程组无解。
4.(15分)设为正定矩阵,其中是一个级矩阵,是一个维列向量。证明如果,则有。
5.(15分)设为级单位矩阵,为给定的维列向量,并有。证明是正定矩阵。
6.(18分)设是一个级矩阵,称为矩阵的秩。
(1)请证明相似变换下矩阵的迹不变。
(2)设为对称半正定矩阵,请证明。
(3)假如为对称半正定矩阵,并且,则是零矩阵。
答题解析
一、判断题(本题共10小题,每小题4分,共40分)
判断下列陈述是否正确,并说明理由。
1.设是数域,,则的最大公因式当且仅当存在,使得。
【考查重点】
本题是第一章的考点,考查了考生对于最大公因式的认识,此题希望考生注意。
【答案解析】
错误。如,,,
则,但很明显的最大公因式。
注:此题若加上条件,则结论成立,二次方法是证明最大公因式的最主要方法。
2.如果多项式的根
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