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PAGE  PAGE 9 2011年南开大学数学分析考研试题及解答 求极限 解 原极限 计算为取逆时针方向。 解 记 则 而由Green公式知 计算为 解 (对称性) 求函数在闭区域上的最大值与最小值。 解 由， 知的极值点为且 往求在上的最大值与最小值。 为此，利用Lagrange乘数法，记 则由 (1) 知或 直接计算有 故 ______________________________________ 由知 而其有非零解(否则与矛盾)。故 即有 将上述的值代入，再联立即知结论。 设均为正整数数列，且适合 证明：数列的极限存在，并求该极限值。 证明 由 及均为正整数知 于是 令则 (2) 注意到 我们有单调递减且有下界。 从而存在。 于(2)两边令得 设在上有连续的导函数，且试证明： 证明 由知 而 记 则 从而 设数列为正的单调递减数列，且收敛，证明：。 证明 因为为正的单调递减数列 所以存在， 由收敛，可知必有 对任意存在正整数,使得对任意正整数，成立 在上式中，令，取极限，则得 由的任意性，则得 显然 故有 。 设数列为正的单调递减数列，且收敛，证明：。 证明 因为为正的单调递减数列 所以存在， 由收敛，可知必有； 对任意存在正整数,使得对任意正整数，成立 在上式中，令，取极限，则得 由的任意性，则得 显然 故有 。 8、设为实数，试讨论广义积分何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，并说明理由。 解 (a)考虑积分 由于当时，与同阶； 当时， 我们有 当时，收敛；当时，发散； 当时，收敛；当时，发散(Dirichlet判别法)； 当时，也发散。 从而当且仅当时，原广义积分绝对收敛。 (b)考虑 易知，i. 当时，收敛；当时，发散； ii.当时，收敛；当时，发散. 从而当且仅当时，广义积分收敛。 综上所述，我们得出结论： 当时，原广义积分绝对收敛; 当且时，原广义积分条件收敛; 其他情况时，原广义积分绝对发散。 9、设已知 (a) 试证明： (b) 求出的初等函数表达式。 证明 (a) 由相应的一致收敛性知 而 (b) 解ODE 得 又 我们有 设是由方程所确定的函数, 计算 解 设则 求 解 所以