厦门大学第十届（）景润杯数学竞赛试卷答案（经管）().docVIP

厦门大学第十届景润杯数学竞赛试卷 ＿＿＿＿＿＿学院＿＿＿年级＿＿＿＿＿＿专业 竞赛时间 2013.06.22 （经管卷） (15分)求下列极限（每小题5分，共15分） （1） 解： ( 2）； 解： . （3），其中是由 所围成. 解：由于函数在上连续，由积分中值定理得 其中，即，于是当时， ， 所以. 2. (10分) 设在上连续，在内可导，且，试证明：至少存在一点，使得。 解：构造辅助函数，显然在上连续，在内可导，且 , ，因此 在上满足罗尔定理的条件，则由罗尔定理知，存在使得,即，因，故有. 证毕. 3、(10分) 计算定积分 . 解： . 4．(10分) 设，,其中为任意实数,试就的不同取值范围，讨论的大小关系. 解法1：对于函数， ， 当或时，，是严格的下凸函数，而 是曲线在点处的切线，而严格下凸函数的切线总是位于曲线的下方。因此有，即. 当时，，是严格???上凸函数，再由上 凸函数的性质（切线总在曲线的上方），即有，所以. 不论何种情况，当且仅当时，。 解法2：设辅助函数 显然，且 若或时， 当时，; 当时，, 所以 ，即. 若时， 当时，; 当时，, 所以当时，有，即. 当且仅当时，等式成立即。 5、(10分) 求在全平面上的最大值和最小值。 解法1：令解得唯一的驻点. ,故是极小值点，极小值为. 又有 , 可见在全平面上无最大值.又知存在，当时，,于是在内, 不可能取最小值，即的全局最小值只能在内取得，又在内无不可导点，于是 . 解法2：先固定，求.将改写成 于是当时，， 从而 ， 显然无最大值，因此也无最大值。 6．(10分) 设锥面,平面，求以点为中心与相切的球面方程与切点坐标,其中是上到距离最小的点。 解：上任一点到的距离为 作拉格朗日函数 则令 ，即， 解得，代入上述最后一式得, 所以得唯一的极值点，因此，(因为最小距离是客观存在的，极值点唯一）,最小距离为. 由此可得，以点为中心与相切的球面方程为 下面计算切点坐标。过点作的垂线，则的方程为 ，即，将其代入的方程得 ，得，代入上式得切点坐标. 7. (10分) 试用二重积分计算由抛物线与轴所围成的闭区域的面积。 解法1：设所求闭区域的面积为S，记此闭区域为D，则， 如图所示：D的边界由和轴所围成 A D 为求积分S，作积分变换。 O 令，即， 则 ， 其中. 解法2：设闭区域D的边界为L，则有，L的参数方程为: ， 利用面积的曲线积分公式 . 8. (15分)（1）假设从银行贷款元，年利率为，协议规定这笔贷款要在年内按月等额归还，试问每月应偿还多少？ （2）某先生从银行贷款35万买房，计划10年内按月等额还贷还清贷款，如果贷款的年利率为6%，问这位先生每月要还多少元钱？ 解：（1）假设每月偿还a元，贷款的月利率 第一个月应付的利息为 第二个月应付的利息为 第三个月应付的利息为 这是一个一阶非齐次线性差分方程 求出它的通解：.将代入，得， 所以第n个月应付的利息为 n年的利息总和为 是n年的总还款数，为n年的总利息，所以 则，由此解得. 即每月偿还元，n年恰能还清贷款。 （2），代入上式得 （元） 即这位先生每月要还3885.68元。 9. (10分) 求幂级数的收敛域。 解：记，当时， 所以， 因此所给幂级数的收敛半径为，从而收敛区间为. 当时，所给幂级数为正项级数，因为 ，而发散，所以发散. 当时，所给幂级数为交错级数，因为 ，令 而，所以单调减少趋于0，所以由交错级数的莱布尼茨判别法知 收敛。综上所述，收敛域为.