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2015-2016学年河南省开封市高三(上)定位数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A={x|2x﹣2<1},B={x|1﹣x≥0},则A∩B等于( )
A.{x|x≤1} B.{x|1≤x<2} C.{x|0<x≤1} D.{x|0<x<1}
2.若复数Z=(a∈R,i是虚数单位)是纯虚数,则在复平面内Z对应点的坐标为( )
A.(0,2) B.(0,3i ) C.(0,3) D.(0,2i)
3.下列命题正确的是( )
A.已知p:>0,则﹣p:≤0
B.存在实数x∈R,使sinx+cosx=成立
C.命题p:对任意的x∈R,x2+x+1>0,则﹣p:对任意的x∈R,x2+x+1≤0
D.若p或q为假命题,则p,q均为假命题
4.把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将图象向右平移个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为( )
A. B. C. D.
5.某空间几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为( )
A.10 B.15 C.20 D.30
6.执行如图所示的程序框图,输出S的值为( )
A.10 B.﹣6 C.3 D.12
7.△ABC中,点D在AB上,CD平分∠ACB.若=, =,||=1,||=2,则=( )
A. + B. + C. + D. +
8.已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=AB=2,若棱AB上存在点P,使得D1P⊥PC,则AD的取值范围是( )
A.[1,2) B. C.(0,1] D.(0,2)
9.若点(4,tanθ)在函数y=log2x的图象上,则2cos2θ=( )
A. B. C. D.
10.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=﹣f(x),若f(﹣1)>﹣2,f(﹣7)=,则实数a的取值范围为( )
A. B.(﹣2,1) C. D.
11.若曲线y=与曲线y=alnx在它们的公共点P(s,t)处具有公共切线,则实数a=( )
A.﹣2 B. C.1 D.2
12.已知椭圆(a>b>0)的半焦距为c(c>0),左焦点为F,右顶点为A,抛物线与椭圆交于B、C两点,若四边形ABFC是菱形,则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.在(1+x)6(1+y)4的展开式中,xy2项的系数是 .
14.已知函数f(x)=,则f(2016)= .
15.在平面直角坐标系中,已知点P(4,0),Q(0,4),M,N分别是x轴和y轴上的动点,若以MN为直径的圆C与直线PQ相切,当圆C的面积最小时,在四边形MPQN内任取一点,则这点落在圆C内的概率为 .
16.在△ABC中,若(sinA+sinB):(sinA+sinC):(sinB+sinC)=4:5:6,且该三角形面积为,则△ABC的最大边长等于 .
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤
17.已知数列{an}满足(an+1﹣1)(an﹣1)=3(an﹣an+1),a1=2,令bn=.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)求数列{bn?3n}的前n项和Sn.
18.某电子广告牌连续播出四个广告,假设每个广告所需的时间互相独立,且都是整数分钟,经统计,以往播出100次所需的时间(t)的情况如下:
类别
1号广告
2号广告
3号广告
4号广告
广告次数
20
30
40
10
时间t(分钟/人)
2
3
4
6
每次随机播出,若将频率视为概率.
(Ⅰ)求恰好在第6分钟后开始播出第3号广告的概率;
(Ⅱ)用X表示至第4分钟末已完整播出广告的次数,求x的分布列及数学期望.
19.在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC侧面PAB⊥底面ABCD,PA=AD=AB=2,BC=4.
(1)若PB中点为E.求证:AE∥平面PCD;
(2)若∠PAB=60°,求直线BD与平面PCD所成角的正弦值.
20.定义:若两个椭圆的离心率相等,则称两个椭圆是“相似”的. 如图,椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆,并且相交于上下两个顶点.椭圆C1:的长轴长是4,椭圆C2:短轴长是1,点F1,F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点,
(Ⅰ)求椭圆C1,C2的方程;
(Ⅱ)过F1的直线交椭圆C2于点M,N,求△F2MN面积的最大值.
21.已知函数f(x)=alnx+x2﹣1
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若关于x的不等式f(x)≥b(x﹣1)在[,+∞)上恒成立,其
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