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《随机过程》教程 第2章 概率空间和随机对象 第2讲 随机变量 浙江工商大学信电学院 余燕平 yuyanping@zjgsu.edu.cn 简单地说,随机变量、随机向量、随机过程就是个数上有不同：一个、n个、无穷个。考察一次试验， 若试验结果只需要一个数（变量）就可以表示，则随机对象是随机变量； 若试验结果需要n个数表示，则随机对象是随机向量； 若试验结果需要无穷个数表示，则随机对象是随机过程。 随机对象 2 随机对象 映射方法：将具体的样本空间映射到数集或者函数集 直接方法：直接指定样本空间为数集或函数集 当样本空间为一维实数集合时，则称该一维实变量为随机变量 当样本空间为一维复数集合时，则称该一维复数变量为复随机变量 当样本空间为高维实数空间时，则称该高维实数变量为随机向量 当样本空间为定义于某个数集上的函数组成，则称该函数集合为随机过程 3 随机变量 随机变量的两要素 变量特征 概率特征（统计特征） 手机话费 （元） 月使用时间 （分钟） 4 直观理解 简单地说，“随机变量”就是用一个数（变量）来表示试验后的结果（样本点）。因为每次试验结果的不确定，随机变量既有取值问题，又有取此值的可能性的问题，所以叫“随机变量”。引进它，就是为了把具体问题数学化。 事件用“随机变量取值”来表示。象“抛硬币”，可以把“正面朝上”和“反面朝上”对应于“X=0”和 “X=1”。 一般情况下，随机变量往往是有实际意义的，例如上面的“掷出的点数”。 5 样本空间的统一问题 当随机变量（随机向量）的样本空间只是实数集合的一部分时，仍用整个实数集合作为样本空间。这样将样本空间统一之后，可以用概率密度函数、概率分布函数统一描述随机变量的概率特性；被扩充的样本点处的概率密度被定义为零； 对于离散型随机变量（随机向量），有时候为了表述的方便，也用离散变量表示，而不进行扩充，此时概率特性用概率质量函数表示 6 随机变量的描述 完全描述（包含所有信息） 概率质量函数（pmf） 离 （mass） 概率生成函数（pgf） 离 （generating） 概率分布函数（cdf） 离、连、混 概率密度函数（pdf） 离、连、混 （density） 概率特征函数(pcf)离、连、混(characteristic ) 矩描述 均值、均方、方差、中心矩、原点矩 7 离散型随机变量 当随机变量X仅取值于某可数实数集 时，称该随机变量为离散型随机变量。 8 概率质量函数(pmf: probability mass function) 任何一种离散型随机变量都可以统一地用概率质量函数表示 其他事件的概率通过概率质量函数计算得到 连续型随机变量不可以用概率质量函数表示 9 概率生成函数-母函数(pgf: probability generating function) 实质就是Z变换 由Z变换的性质，概率生成函数与概率质量函数互相唯一确定。 由概率生成函数求概率质量，既可以用Z逆变换，也可以用Taylor展开。 [例] 2.16,17,18,20 P31 10 例子 17:43 11 概率分布函数(cdf: cumulative distribution function) 随机变量的分布函数定义为： 17:43 12 分布函数的性质2.2 17:43 13 证明 17:43 14 17:43 15 概率密度函数(pdf: probability density function) 概率分布函数的导数 概率在直线上的密度 概率密度函数是分布函数的导数，这里所说的导数指的是广义函数导数。这样，离散型随机变量也有密度函数了，并且密度函数作为统一的描述方法可以描述混合型随机变量。 17:43 16 广义函数理论中的广义函数导数是普通导数的推广。当普通导数存在时，广义函数导数就是普通导数。跳跃间断处的导数和 都是广义函数导数， 广义函数的求导法则与普通函数类似，例如 奇异函数的计算：导数 17 计算 [求广义函数导数] 可导点的导数是普通导数，跳跃间断处的导数是冲激函数，= 跳跃度 间断点），间断点就是冲激点，跳跃度就是冲激强度。 17:43 18 概率密度函数的性质2.3 19 注 20 概率特征函数(pcf: probability characteristic function) 特征函数其实就是概率密度的Fourier变换+ω反转。所以由Fourier变换公式，所以由逆变换公式， 21 特征函数的性质 特征函数包含了随机变量的完全信息。是研究随机变量的重要工具，它的分析性质（可导性，与Fourier变换的关系等）比分布函