导数与应用.docVIP

PAGE  PAGE 14 十、导数 命题人：广大附中 王映 一 导数的概念与运算 1。如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时速度为（ ） A. 6m/s B. 18m/s C. 54m/s D. 81m/s 解析：∵s′=6t2，∴s′|t=3=54. 答案：C 变式：定义在D上的函数，如果满足：，常数，都有≤M成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界. 文（1）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围. 理（2）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围. 解： （1） ∵. 由≤1，得≤1 ∴ 令，显然在上单调递减， 则当t→+∞时，→1. ∴ 令，显然在上单调递减， 则当时， ∴ ∴0≤a≤1； 故所求a的取值范围为0≤a≤1. （2）∵. 由≤1，得≤1 ∴ 令，则. 当时，有， ∴在[0，+∞上单调递减. 故当t=0 时，有； 又，当t→+∞时，→0， ∴ ，从而有≤0，且. ∴0≤a≤1； 故所求a的取值范围为0≤a≤1. 2.已知的值是（ ） A. B. 2 C. D. －2 解： 得选A 变式1：（ ） A．－１ Ｂ．－2 C．－3 D．1 解： . 选B. 变式2： （ ） A． B． C． D． 3．人教版选修1－1第84页例2，选修2－2第8页例2： 根据所给的函数图像比较 变式：函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） A. y B. C. D. O 1 2 3 4 x 解：设x=2,x=3时曲线上的点为A、B,点A处的切线为AT 点B处的切线为BQ， T y B A 如图所示，切线BQ的倾斜角小于 直线AB的倾斜角小于 Q 切线AT的倾斜角 O 1 2 3 4 x 所以选B 4．人教版选修1－1第93页习题A组第4题，选修2－2第18页习题A组第4题， 求所给函数的导数： 。 变式： 设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,＞0. 且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是 （ ） A．(－3,0)∪(3,+∞) B．(－3,0)∪(0, 3) C．(－∞,－ 3)∪(3,+∞) D．(－∞,－ 3)∪(0, 3) 5．人教版选修1－1第93页A组第6题、选修2-2第18页A组第6题 已知函数.(1)求这个函数的导数；（2）求这个函数在点处的切线的方程. 变式1：已知函数.(1)求这个函数在点处的切线的方程； （2）过原点作曲线y＝ex的切线，求切线的方程. 解：（1）依题意得：切点为， 由点斜式得切线方程， 即. （2） 设切点为 由点斜式得， 切线过原点， 切点为由点斜式，得：即： 变式2：函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝( ) A. B. C. D. 1 解：设切点为① ② 由①、②得,选B 说明：1.在“某点处的切线”与“过某点的切线”意义不同，注意审题，后者一定要先“设切点的坐标” 2．求切线方程的步骤是：（1）明确切点；（2）确定该点处的切线的斜率（即该点处的导数值）；（3）若切点不明确，则应考虑先设切点. 6．人教版选修1－1第99页例2选修2－2第25页例2 判断下列函数的单调性，并求出单调区间： 变式1：函数的一个单调递增区间是 A. B. C. D. 解：，选A 或 （