导数与微分计算测试题答疑.docVIP

PAGE  PAGE 4 第二章 导数与微分计算测试题答疑 一、选择题（7×4分） 函数在处连续是在处可导的（ B ） A充分但非必要条件 B必要但非充分条件 C充分且必要条件 D既不充也不必要条件 注：可导与连续的基本关系问题，应拿分！ 设，则（ C ） A B C D 注：初等函数的基本求导问题，应拿分！ 设，则（ A ） A B C D 注：初等函数的基本求导问题，应拿分！ 设，则（ C ） A B C D 注：隐函数的基本求导问题，应拿分！ 设，则（ C ） A B C D 注：初等函数二阶求导的基本问题，应拿分！ 设，则（ C ） A B C D 注：初等函数求导公式与其定义结合的基本问题，难度不大！ 7．若函数，则在处（ D ） A 导数为 B 导数为 C 导数为 D 导数不存在 注：分段函数在分段点处的求导问题，需用左右导数，但难度不大！ 因，则不存在 填空题（3×4分） 1．曲线在点处的切线方程为 注：初等函数的基本求导问题，应拿分！ 2． 注：参数方程所确定函数的基本求导问题，应拿分！ 3．设，则 . 注：幂指函数的基本求导问题，虽未讲过例题，但应拿分！ 请解决下列一般问题：若可导，求 计算题（4×7分） 1．设，求 解：, 注：初等函数的二阶求导问题，应拿分！ 2．设由所确定，求 解：将代入，得 注：隐函数的基本求导问题，应拿分！ 请进一步求 3．设，求 解： 注：参数方程所确定函数的基本求导问题，应拿分！ 请进一步求 4．设在上可导，且，求 解： ，， 注：抽象函数的基本求导问题，应拿分！ 若在上二阶可导，请进一步求 四、（9分）设是由方程所确定的隐函数，求函数曲线在 点处的切线方程及法线方程。 解：将代入， 切线方程为 ，法线方程为 注：隐函数基本求导与其几何意义的综合问题，应拿分！ 五、（8分）设，求 解：令，则 另解：用定义 注：特殊初等函数的求导问题，有一定难度！ 思考题：若，求 *六、（8分）一探照灯距公路最近点A处500 m，照到一辆汽车正经过A点，若汽车以 60 km / h的速度向前行驶，要使探照灯跟踪该汽车（如图），问当汽车距探照灯1000 m时，探照灯转动的角速度是多少？ A公路 60000t 汽车 500 1000 ? 探照灯 解： 当时，，故 另解： 两端对求导，有， 当时，，于是 注：相对变化率的基本问题，虽未讲过例题，但难度不大！ 思考题：一架巡逻直升机在距地面的高度以的常速沿着一条水平笔直的高速公路向前飞行，飞行员观察到迎面驶来一辆汽车，通过雷达测出直升机与汽车间的距离为，并且此距离以的速率减少，试求出汽车行进的速度。 七、（7分）（两题中任选作一题） （1）讨论函数在点的连续性及可微性。 解：，， 因，则在点处连续， ， 因，则其在点处不可导，必然不可微。 注：分段函数在分段点处的连续与可导判定问题，连续判定需用左右极限，可导判定需用左右导数，有一定难度！ 思考题：设 问取何值时，可导？ （2）设函数在点处具有连续的一阶导数，且，求。 解： 因在点处具有连续的一阶导数，则 注：求导与求极限的综合问题，有一定难度！ 思考题1：求 思考题2：设讨论在处的连续性