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非线性控制系统讲述

第八章 非线性控制系统分析 8.1 非线性控制系统概述 8.2 常见非线性特性及其对系统运动的影响 8.3 相平面法 8.4 描述函数法 8.1 非线性控制系统概述 一、研究非线性控制理论的意义 实际上,理想的线性系统并不存在,组成系统的各元件的动态和静态特性都存在着不同程度的非线性。 典型非线性特性 二、非线性系统的特征 1.稳定性分析复杂,系统可能存在多个平衡状态; 时间响应曲线 平衡状态:x=0 x=1 平衡状态的稳定性不仅与系统的结构和参数有关,而且与系统的初始条件有直接的关系。 2.可能存在自激振荡现象; 3.频率响应发生畸变。 长时间大幅度振荡会造成机械磨损,增加误差,因此多数情况下不希望系统有自振发生。但在控制中通过引入高频小幅自振,可克服间隙、死区等非线性因素的不良有影响。 非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率的正弦信号分量(基频分量)外,还含有关于w 的高次谐波分量,使输出波形发生非线性畸变。 三、非线性系统的分析与设计方法 1.相平面法--基于时域分析的图解法 通过在相平面上绘制相轨迹曲线,确定非线性微分方程在不同初始条件下解的运动形式。相平面法仅适用于一阶和二阶系统。 2.描述函数法—基于频域的等效线性化方法 通过谐波线性化,将非线性特性近似表示为复变增益环节,然后推广应用频率法,分析非线性系统的稳定性或自激振荡。 3.逆系统法 运用内环非线性反馈控制,构成伪线性系统,并以此为基础,设计外环控制网络。该方法应用数学工具直接研究非线性控制问题,不必求解非线性系统的运动方程,是非线性系统控制研究的发展方向。 8.2 常见非线性特性及其对系统运动的影响 一、饱和特性 对系统的影响: 1.使系统开环增益下降,对动态响应的平稳性有利; 2.使系统的快速性和稳态跟踪精度下降。 二、死区特性 对系统的影响: 1.使系统产生稳态误差; 2.当系统输入端存在小扰动信号时,在系统动态过程的稳态值附近,死区的作用可减小扰动信号的影响。 三、间隙特性 对系统的影响: 增大系统的稳态误差,降低系统的稳态精度,使过渡过程振荡加剧,甚至造成系统的不稳定。 一般来说,间隙特性对系统总是有害的,应该消除或消弱它的影响。 四、继电特性 对系统的影响: 1可能会产生自激振荡,使系统不稳定或稳态误差增大; 2.如选得合适可能提高系统的响应速度。 其他继电特性 8.3 相平面法 相平面法由庞加莱1885年首先提出,是一种求解一、二阶常微分方程的图解法。其实质是将系统的运动过程形象地转化为相平面上一个点的移动,通过研究这个点的移动轨迹,就可获得系统运动规律的全部信息。 相平面法可以用来分析一、二阶线性或非线性系统的稳定性、平衡位置、时间响应、稳态精度及初始条件和参数对系统运动的影响。 相平面法绘制步骤简单、计算量小,特别适用于分析常见非线性特性和一阶、二阶线形环节组合而成的非线性系统。 一、相平面的基本概念 设二阶系统的常微分方程: 方程的解 --相变量 相平面: 相轨迹: 相平面图: 相平面及其上的相轨迹簇(多个初始条件下的运动对应多条相轨迹)组成的图形。 二、 相轨迹的绘制方法 1.解析法 --解微分方程,然后在相平面上绘制相轨迹。 (1)消变量法 (2)直接积分法 解: 整理后得: 相轨迹 2.等倾线法 --不解微分方程,直接在相平面上绘制相轨迹。 等倾线: 相平面上相轨迹斜率相等的诸点的连线。 等倾线法基本思想: 先确定相轨迹的等倾线,进而绘出相轨迹的切线方向场,然后从初始条件出发,沿方向场逐步绘制相轨迹。 给定一组a值,就可得到一族等倾线,在每条等倾线上各点处作斜率为a的短直线,并以箭头表示切线方向,则构成相轨迹的切线方向场。 只要从某一初始点出发,沿着方向场各点的切线方向将这些短线用光滑的曲线连接起来,便可以得到系统的一条相轨迹。 解: 例: 用等倾线法绘制 的相轨迹。 当以(x0,0)为初始条件时,是一个圆。 a =-∞ … ,-2, -1,-0.5,0,0.5 …∞时画等倾线 注意事项 (4)等倾线分布越密,相轨迹越准确。 (3)相轨迹与x轴垂直相交; 三、线性系统的相轨迹 1.线性一阶系统的相轨迹 微分方程: 相轨迹方程: 设系统初始条件为c(0)=c0 2.线性二阶系统的相轨迹 微分方程: 特征根: 相轨迹微分方程: 等倾线方程: 讨论二阶线性系统的相轨迹 1.b0时 2.b=0时 3.b0时 (1)0z1 s1s2--具有负实部的共轭

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