31函数的连续性与间断点汇编.ppt

第三章 函数的连续性  引言： 客观世界的许多现象都是连续变化的，比如,时间的变化是连续的。所谓连续就是不间断，但是在数学上要用数学的语言来描述着这种现象。 一、函数连续性的概念 二、函数的间断点及其分类 三、连续函数求极限的简便法则 §3-1 函数的连续性与间断点 学习目标 §3-1 函数的连续性与间断点 1．理解函数在一点连续与间断的概念,掌握判断分段函数在一点连续的方法； 2．会求函数的间断点； 3．了解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用连续性求极限。 §3-1 函数的连续性与间断点 1.自变量与函数的增量 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，当自变量从初点x1变化到终点x2 时，终点与初点的差称为自变量的改变量或增量，记为 ?x=x2 -x1 显然有x2 =x1+?x 对应的函数值从从初值y1=f(x1)变化 到终值y2=f(x2)=f(x1+?x),其差称为函数的 改变量或增量，记为 ?y=y2 -y1 或?y=f(x1+?x)-f(x1) §3-1 函数的连续性与间断点 1.自变量与函数的增量 自变量的改变量或增量，记为 ?x=x2 -x1 函数的改变量或增量，记为 ?y=y2 -y1 或?y=f(x1+?x)-f(x1) ?x、?y 可正可负 例 设 f (x) =2x+1，分别求Δx和Δy.（1）x由2变到2.1,（2）x由2变到1.8, 解:（1）Δx=2.1-2 = 0.1 Δy=f (2.1) -f (2)= (2×2.1+1)-(2×2+1) =5.2-5 = 0.2 （2） Δx=1.8-2 = -0.2 Δy=f (1.8) －f (2) =(2×1.8+1)-(2×2+1) =4.6-5 = -0.4 一、函数连续性的概念 §3-1 函数的连续性与间断点 §3-1 函数的连续性与间断点 2.函数的点连续的概念 一、函数连续性的概念 函数f(x)图象在点x0=1处连续，是一条连续的曲线； 函数g(x)图象在点x0=1处断开了。 §3-1 函数的连续性与间断点 2.函数的点连续的概念 一、函数连续性的概念 由定义可知，函数f(x)在点x0处连续， x0必属于函数f(x)的定义域。 §2-7 无穷小量的比较 §3-1 函数的连续性与间断点 2.函数的点连续的概念 一、函数连续性的概念 §3-1 函数的连续性与间断点 2.函数的点连续的概念 一、函数连续性的概念 引入增量记号，定义1中的x→x0和f(x)→f(x0)， 可以改写为?x=x -x0→0，?y=f(x0+?x)-f(x0)→0。 定义2反映了函数连续性的本质特征： 自变量变化很小时，函数值变化也很小。 函数 y = f(x)在点x0连续的几何解释 显然△y 不趋于0 连续的几何解释: 自变量的改变量△x→0时, 函数的改变量 △y→0 §3-1 函数的连续性与间断点 2.函数的点连续的概念 函数在点 x0 连续的定义 此定义主要用于 证明函数的连续性 利用此定义可证明:基本初等函数在定义域内的连续性。 §3-1 函数的连续性与间断点 §3-1 函数的连续性与间断点 2.函数的点连续的概念 一、函数连续性的概念 §3-1 函数的连续性与间断点 3.左连续和右连续 函数f(x)在点x0处连续的充要条件是 f(x0-0）=f(x0+0）=f(x0) 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. §3-1 函数的连续性与间断点 4.函数f(x)的区间连续性 一、函数连续性的概念 初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的. ★ ★ ★ §3-1 函数的连续性与间断点 定理1 基本初等函数在定义域内是连续的. 定理2 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. §3-1 函数的连续性与间断点 4.函数f(x)的区间连续性 一、函数连续性的概念 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续; 注意　 1.在分段区间上定连续。 2.分段点连续性需利用定义去判断。 步骤： 1、求函数值f(x0)=? 2、求极限值 ？ 3、判断： ？ 5.分段函数的连续性 一、函数连续性的概念 §3-1 函数的连续性与间断点