定积分与微积分基本定理复习讲义.doc

定积分与微积分基本定理复习讲义 河南省卢氏县第一高级中学 山永峰 [备考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题． 2.考查简单定积分的求解． 3.考查曲边梯形面积的求解． 4.与几何概型相结合考查． [归纳·知识整合] 1．定积分 (1)定积分的相关概念：在∫baf(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式． (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫baf(x)dx的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)． ②一般情况下，定积分∫baf(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． (3)定积分的基本性质： ①∫bakf(x)dx＝k∫baf(x)dx. ②∫ba[f1(x)±f2(x)]dx＝∫baf1(x)dx±∫baf2(x)dx. ③∫baf(x)dx＝∫caf(x)dx＋∫bcf(x)dx. [探究]　1.若积分变量为t，则∫baf(x)dx与∫baf(t)dt是否相等？ 提示：相等． 2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？ 提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算． 3．定积分∫ba[f(x)－g(x)]dx(f(x)g(x))的几何意义是什么？ 提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理：如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫baf(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式． 为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)|ba，即 ∫baf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)． 课前预测： 1.∫421xdx等于(　　) A．2ln 2　　B．－2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2 2．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为(　　) A.176 B.143 C.136 D.116 3．(教材习题改编)直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积为________． 4．(教材改编题)∫101－x2dx＝________. 5．由y＝1x，直线y＝－x＋52所围成的封闭图形的面积为________ 考点一 利用微积分基本定理求定积分 [例1]　利用微积分基本定理求下列定积分： (1)∫21(x2＋2x＋1)dx；(2)∫π0(sin x－cos x)dx； (3)∫20x(x＋1)dx；(4)∫21\a\vs4\al\co1(e2x＋\f(1x))dx；　(5) sin2x2dx. ——————————————————— 求定积分的一般步骤： (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数； (4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值； (5)计算原始定积分的值． 强化训练： 1．求下列定积分：(1)∫20|x－1|dx；(2) 1－sin 2xdx. 考点二 利用定积分的几何意义求定积分 [例2]　∫10－x2＋2xdx＝________. 变式：在本例中，改变积分上限，求∫20－x2＋2xdx的值． 　——————————————————— 利用几何意义求定积分的方法 (1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分． (2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小． 强化训练： 2．(2014·福建模拟)已知函数f(x)＝∫x0(cos t－sin t)dt(x0)，则f(x)的最大值为________． 考点三：利用定积分求平面图形的面积 　　[例3]　(2014·山东高考)由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为(　　) A.103　　　B．4