实数的定义及其运算.doc

一、实数的定义： 实数：包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。 算数平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a,那么这个数x叫做a的算术平方根。记为“”读作“根号a”。 平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次根）。记为±，读作“正负根号a”。 平方根的性质 1、一个正数有两个平方根；2、0只有一个平方根，是它本事“0”；3、负数没有平方根。 例题1．下面几个数：0.23 ，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（C ）　　A、1　　　 B、2　　　 C、3 　　　D、42、下列说法中正确的是（ ）　　A、的平方根是±3　 B、1的立方根是±1　 C、=±1 　D、是5的平方根的相反数3、1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2） -27立方根是__________. 3） _______， ___________，___________. 　　 二、有理数及其分类： 有理数：整数与分数统称为有理数。整数包括三类：正整数、零、负整数。分数包括两类：正分数和负分数。 按整数、分数的关系分类： 按正数、负数、零的关系分类： 三、数轴： 1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 注意：①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定，都是根据实际需要而定的。 2.数轴的画法：①画一条水平的直线；②在直线的适当位置选取一点作为原点，并用0表示这点；③确定向右为正方向，用箭头表示出来；④选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为－1，－2，－3，…。如图1所示。 四、绝对值： 绝对值的几何定义：在数轴上，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数a的绝对值，记作|a|。 绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0. 注意：①绝对值的求法：先判断这个数是正数、负数、还是零，再根据绝对值的代数定义去掉绝对符号；②绝对值的非负性：无论是绝对值的几何定义，还是绝对值的代数定义都揭示了绝对值的重要性质—非负性。也就是说，任何一个有理数的绝对值都是非负数，即，。 五、非负数 若数a≧0，则称a为非负数。 非负数的性质：任何非负数的和仍为非负数；如果几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0。 3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______　　解析：在数轴上找到A、B两点，　例题：1、如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（ ）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．－1 B．1－ C．2－ D．－2　　选C2、化简下列各式： 　(1) |-1.4|　　　(2) |π-3.142| 　　(3) |-| 　　　(4) |x-|x-3|| (x≤3) 　3、 已知实数、、在数轴上的位置如图所示：　　　　　　　　　　　　 　　　　　　化简 　　【答案】： 六、倒数 乘积为1的两个有理数互为倒数。 倒数的求法：求一个数的倒数，直接可写成这个数分之一；求一个分数的倒数，只要将分子、分母颠倒即可；求一个带分数的倒数，应先将带分数化成假分数，再将分子、分母颠倒；求一个小数的倒数，应先将小数化成分数，然后再求倒数。 只有零没有倒数，其他任何有理数都有倒数。正数的倒数为正数，负数的倒数为负数。 七、相反数 只有符号不同的两个数互为相反数。规定零的相反数是零。 从数轴上看，表示互为相反数的两个数，分别位于原点的两侧，且与原点的距离相等，如图1，3与－3互为相反数。 注意：相反数是成对出现的，不能单独存在，如+2与－2互为相反数，说明+2的相反数是－2，－2的相反数是+2，单独一个数不能说相反数；“只有”的含义说明像+5与－3这样的两个数不是互为相反数。 八、有理数运算律 　　1、乘法的交换律 ab=ba； 　　2、乘法的结合律 a(bc)=(ab)c； 　 3、分配律 a(b+c)=ab+ac； 4、0a＝0 文字解释：一个数乘0还于0。 注意：实数的运算顺序 先乘方、开方，后乘除，最后加减；有括号时，先算括号里面的；同级运算按从左至右的顺序进行，同时注意运算律的灵活应用。 例题：1、已知那么a+b-c的值为___________ 2、计算： ×+× 一、选择题：　　1．下列各式中正确的是（ ）　　A．