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对“用频率来估计概率”教学中几个关键点的认识 北京东城教师研修中心　雷晓莉　吴晓燕 2009年11月8—10日“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计的理论与实践”课题组在湖北荆洲召开了第五次初中研讨会，会上呈现了四节课，其中有两节课是“用频率来估计概率”，由于概率内容是实施课程标准后进入到中学的，教师对教学内容的理解和把握相对要比其他章节弱一些，教师讲课的底气明显不足，甚至有一些科学性错误，参加研讨的一线教师大部分都不敢发言，惟恐自己说错了. 会议结束后，针对课堂上出现的问题我调查了一些初中数学教师，得出的结论是大家对“用频率来估计概率”的教学内容认识理解有些欠缺，正象广州教研员许世红老师说的“教师概率统计的专业素养不够”.下面我针对“用频率来估计概率”教学中的几个关键点谈谈我的理解和认识，以提高我们备课的质量. ? 关键点1：概率的统计定义 ? 概率在中学阶段有三种定义：一种是古典概率，一种是几何概率，另一种是概率的统计定义.对于概率的统计定义的价值以及它和前两种定义的关系可以从以下几个方面来理解. ? 在相同的条件下做大量重复试验，一个事件A出现的次数 和总的试验次数n之比，称为事件A在这n次试验中出现的频率．当试验次数n很大时，频率将稳定在一个常数附近．n 越大，频率偏离这个常数较大的可能性越小．这个常数称为这个事件的概率． ? 这个定义与统计有密切的关系，它建立在频率稳定性的基础上，所以称为概率的频率定义．这种对概率讨论的对象不再限于随机试验所有可能的结果为等可能的情形，因而更具有 ? 　　一般性．例如，掷一枚质地不均匀的硬币，硬币正、反两面向上的可能性会不相等，不能用古典概率而只能用统计方法分析这个问题，如果经过大量重复试验，发现随着试验次数不断增加，硬币正面向上的频率越来越稳定在常数附近，则可以推断事件A（硬币正面向上）发生的概率为P(A) = ．统计学家克拉梅用瑞典1958 年的官方统计资料也发现了女婴出生频率总是在0. 482左右波动. 如此等等, 随着人们观察对象的广泛化,人们越来越认识到, 对一个随机事件来说, 它发生可能性大小的度量是由它自身决定的, 并且是客观存在的, 就好比一根木棒有长度,一块土地有面积一样.它就是频率稳定的中心值. 概率的统计定义提供了概率的一个可供想象的具体值, 并且在试验重复次数n 较大时, 可用频率给出概率的一个近似值, 这一点是概率统计定义最有价值的地方. ? 概率的统计定义突破了古典概率、几何概率中随机试验要满足“结果等可能”的限制，因而具有一般性，其适用范围也更宽泛．从理论上说，古典概率、几何概率的概率也能够通过大量重复试验由频率的稳定性得出，即概率的统计定义的适用范围包括“结果等可能”的随机试验． ? 关键点2：概率与频率的关系 ? 频率频率和概率是两个不同概念，频率与试验的次数有关,而频率的稳定性又说明了概率是一个客观存在的数,是随机事件自身的一个属性, 它与试验次数无关. 虽然在统计概率计算中,我们一般用事件发生的频率去代替概率, 这与实际并不矛盾,就象测定一根木棒的长度一样,人人皆知木棒有其客观存在的“真实长度”,但用量具去测量,总会有误差,测得的数值总是稳定在木棒“真实长度”的附近,而得不到木棒的“真实长度”值.事实上,人们一般就用测量所得的近似值去代替“真实长度”.只不过根据实际要求选择精度不同的量具罢了.这里木棒的“真实长度”与测得数值之间的关系完全同概率与频率之间的关系一样. ? 因此，频率既有随机性（每人每次试验都是变化的），又有规律性（也就是稳定性），即随机事件发生的频率的稳定值就是概率，人们也就把频率稳定的中心值作为事件发生的概率.于是我们可以说“频率是概率的估计”、“频率的稳定值就是概率”，但不能说“频率的稳定值是概率估计值”. ? 关键点3：概率与极限的关系 ? “当试验次数越来越多时，频率就越来越接近于概率”，或者“概率就是频率的极限”，这是一些老师通常的认识误区．至于概率为什么不是频率的极限，可以从下面的论述中理解. ? 事件A在一次试验中发生的概率为,如果在相同条件下进行了次试验（也就是一个重贝努利试验），事件A发生了次，则事件A发生的频率为，当增大时，它越来越稳定于事件A的频率，这里所说的“越来越稳定”是否指数学分析中呢？根据极限的定义, 如果成立, 则意味着对于任意给定的，存在正整数N，当n N 时, 有，但对于,无论n取多大, 都有可能发生, 比如对于, 无论N 取多大, 都有可能出现的情况, 此时，则，所以, 事件A的频率稳定于A的概率不是指. ? 关键点4：概率与大数定律的关系 ? 由于概率与频率概念不清晰，有些老师误以为“概率就是频率的极限”，导致讲课过程中语言表达往往不是很准确，为此有必要把概率与大数定理的关系阐述如下：