导数的应用—极值、最值.doc

三．导数与极值、最值 3.1.函数的极值 1.函数极值定义 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点。 如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点。极大值与极小值统称为极值 2. 判别f(x0)是极大、极小值的方法: （1）若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值. （2）按着导数的几何意义理解： 曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3. 求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) (2)求方程f′(x)=0的根 (3)用函数的导数为0的点， 如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值； 如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值 例.设a为实数，函数y=ex-2x+2a,求y的极值 2.3 函数的最大值与最小值 一般地，在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。 求函数在区间[a,b]上最大值与最小值的步骤如下： ①求函数?在(a，b)内的极值； ②求函数?在区间端点的值?(a)、?(b)； ③将函数? 的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 例1（06浙江卷）在区间上的最大值是 (A)-2 (B)0 (C)2 (D)4 例2.已知a为实数， （1）若，求在[－2，2] 上的最大值和最小值； （2）若在（—∞，—2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围. 解: (Ⅰ)由原式得 ∴ 由 得,此时有. 由得或x=－1 , 当变化时，的变化如下表 - 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以f(x)在[－2,2]上的最大值为最小值为 (2)解法一: 的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得 即 ∴－2≤a≤2. 所以a的取值范围为[－2,2]. 疑难点、易错点剖析 1由极值的定义可知，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。此外请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念。由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 （ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而 （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 （V）可导函数的极值点的导数为0，但是导数为0的点不一定是极值点，如函数y=x3在x=0处导数为0，但x=0不是极值点。 （Vi）函数在一点x0处有极值，不一定在该点可导。如函数y=|x| 在x=0有极小值，但在x=0处不可导即导数不存在。 2.对于函数的最值问题，应注意以下几点： （1）在闭区间上图像连续不断的函数在上必有最大值与最小值． （2）在开区间内图像连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值； （3）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；而函数的极值是比较极值点附近函数值得出的． 练习 1.（06江西卷）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）?0，则必有（ C ） A． f（0）＋f（2）?2f（1） B． B. f（0）＋f（2）?2f（1） C. f（0）＋f（2）?2f（1） D. f（0）＋f（2）?2f（1） 2．函数有极值的充要条件是（ ） A． B． C． D． 3.（06天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　 ） A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个 4.如果函数y=f(x)的导函数的图像如右图所示， 给出下列判断： (1) 函数y=f(x)在区间（3，5）内单调递增； (2) 函数y=f(x)在区间（-1/2，3）内单调递