2015线性代数第三章小结.pdf

第三章小结 Zhanglizhuo-2015 第三章 矩 阵 ?§3.1 矩阵的运算 ?§3.2 几种特殊的矩阵 ?§3.3 分块矩阵 ?§3.4 逆矩阵 ?§3.5 初等矩阵 Zhanglizhuo-2015 教学纲目 §3.1 矩阵的运算 一、矩阵的加法 二、数与矩阵的乘法 三、矩阵的乘法 五、矩阵的转置 六、n阶矩阵的行列式 四、方阵的幂与方阵多项式 Zhanglizhuo-2015 教学要求 2、理解和掌握数与矩阵的数量乘法。 3、理解和掌握矩阵的乘法。 4、理解和掌握方阵的幂与方阵多项式。 6、理解和掌握矩阵的转置及其运算。 7、理解和掌握方阵的行列式及其运算。 5、理解和掌握线性方程组的矩阵表示。 1、理解和掌握矩阵的加法。 Zhanglizhuo-2015 定义 矩阵同型/矩阵加法/数量乘法/矩阵乘法。 运算法则 加法/数量乘法/乘法/转置/行列式。 Zhanglizhuo-2015 §3.2 几种特殊的矩阵 教学纲目 教学要求 一、对角矩阵 二、数量矩阵 三、上(下)三角矩阵 四、对称矩阵与反对称矩阵 理解和掌握上述矩阵及其与性质。 Zhanglizhuo-2015 定义 对角矩阵/数量矩阵/上(下)三角矩阵/(反)对称矩 阵。 性质 对角矩阵/数量矩阵/上(下)三角矩阵/(反)对称矩 阵。 Zhanglizhuo-2015 §3.3 分块矩阵 教学纲目 教学要求 二、分块矩阵的应用 一、分块矩阵及其运算规则 2、理解与掌握分块矩阵的应用方法。 1、理解与掌握分块矩阵及其运算规则。 Zhanglizhuo-2015 定理1 设A=(aij)m×s，B=(bij)s×n，则 rank(AB)≤min{rank(A), rank(B)}。 命题2 设A是实数域上m×n矩阵，则 rank(ATA)=rank(AAT)=rank(A)。 例题结论，如果Am×nBn×s =O，则rank(A)+rank(B)≤n。 Zhanglizhuo-2015 教学纲目 §3.4 逆 矩 阵 一、可逆矩阵及矩阵可逆的充分必要条件 二、可逆矩阵的性质 三、特殊分块矩阵求逆阵 四、解矩阵方程 Zhanglizhuo-2015 教学要求 1、理解和掌握可逆矩阵及矩阵可逆的充分必要条件。 4、理解和掌握解矩阵方程的方法。 2、理解和掌握可逆矩阵的性质。 3、理解和掌握特殊分块矩阵求逆阵的方法。 定义 可逆矩阵/逆矩阵/伴随矩阵。 Zhanglizhuo-2015 命题1 如果A是可逆矩阵，则|A|≠0。 定理2 数域F上n阶矩阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0， 当A可逆时， -1 *1A = A . A 推论3 n阶矩阵A可逆的充分必要条件是rank(A)=n。 推论4 数域F上n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A的 行(列)向量组线性无关。 推论5 设A与B都是n阶矩阵，如果AB=E，则A与B都 是可逆矩阵，且A-1=B，B-1=A。 Zhanglizhuo-2015 性质1 单位矩阵E可逆，且E-1=E。 性质2 如果A可逆，则A-1也可逆，且(A-1)-1=A。 性质3 如果n阶矩阵A, B都可逆，则AB也可逆，且 (AB)-1=B-1A-1。 性质4 如果A可逆，则AT也可逆，且(AT)-1=(A-1)T。 性质5 可逆矩阵经过初等行变换化成的简化行阶梯形 矩阵一定是单位矩阵。 Zhanglizhuo-2015 教学纲目 §3.5 初 等 矩 阵 一、初等矩阵及其性质 二、矩阵的等价(相抵) 三、初等变换法求逆矩阵 四、初等变换法求解矩阵方程 Zhanglizhuo-2015 教学要求 1、理解和掌握初等矩阵及其性质。 2、理解和掌握矩阵的相抵关系。 3、理解和掌握初等变换法求逆矩阵。 4、理解和掌握初等变换法求解矩阵方程。 定义 初等矩阵/矩阵等价。 Zhanglizhuo-2015 定理1 用初等矩阵左(右)乘一个矩阵A，就相当于对 A作了一次相应的初等行(列)变换。 定理2 矩阵A可逆的充分必要条件是它可以表示成一 些初等矩阵之积。 命题3 可逆矩阵左(右)乘矩阵A，不改变A的秩。 Zhanglizhuo-2015 定理4 设数域F上m×n矩阵A的秩为r，如果r0，则 A等价于下述矩阵： ,rE O O O ? ? ? ? ? ? 如果r=0，则A相抵于零矩阵，此时称A的相抵标准形 是同型零矩阵。 推论5 数域F上两个m×n矩阵A与B等价当且仅当它们 的秩