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第四章 方差分析、正交实验设计 在科学实验和生产实践中，任何事物总是受到很多因素影响的，根据实验得到的数据，分析各个因素对该事物的影响是否显著。数理统计中一种有效的方法就是方差分析。 方差分析可以认为是假设检验的某种推广，在数理统计中有着广泛的应用。本章介绍的是最基本的内容：方差分析和正交实验设计。 第一节　一元方差分析 一、单因素试验 二、平方和的分解 四、假设检验问题的拒绝域 五、未知参数的估计 六、小结 一、单因素试验 　　方差分析——根据试验的结果进行分析,鉴别 各个有关因素对试验结果的影响程度. 试验指标——试验中要考察的指标. 因　　素——影响试验指标的条件. 因素 可 控 因 素 不可控因素 水　　平——因素所处的状态. 单因素试验——在一项试验中只有一个因素改变. 多因素试验——在一项试验中有多个因素在改变. 例1 为了比较四种不同肥料对小麦亩产量的影响，选用一块肥沃程度和水利灌溉比较均匀的土地，将其分成16小块，如下表所示(按下表划分土地是为了尽可能减少土地原有肥沃程度及灌溉条件差异的影响，只分析肥料这个因素对产量的影响) 。 表4.1 在表4.1中， Ai 表示在一小块土地上施第i种肥料。显然施每种肥料的各有四小块土地，所得产量由表4.2给出。问施肥对该作物的产量有无显著影响，若影响显著，施哪种肥料为好？ 表4.2 试验指标: 亩产量 因素: 肥料 水平: 不同的四种肥料是因素的四个不同的水平 例1是一个单因素试验，这个因素就是肥料，不同的肥料A1，A2，A3，A4就是这个因素的4个水平。在因素的每一水平下进行独立试验，所得数据如表4.2所示。可以看出，（1）虽然所施肥料相同，其他生产条件也一样，但相同面积土地的收获量是不相等的。这说明产量也是一个随机变量。（2）从表4.2右边所示的平均收获量又可以看出，施不同的肥料对收获量是有影响的。 现在判断肥料对作物产量的影响问题，就是要辨别收获量之间的差异主要是由抽样误差造成的还是由肥料的影响造成的。 例2　设有三台机器,用来生产规格相同的铝合金薄 板.取样,测量薄板的厚度精确至千分之一厘米.得结 果如下表所示. 试验指标: 薄板的厚度 因素: 机器 水平: 不同的三台机器是因素的三个不同的水平 　　假定除机器这一因素外, 其他条件相同, 属于单因素试验. 　　试验目的: 考察各台机器所生产的薄板的厚度 有无显著的差异. 即考察机器这一因素对厚度有无 显著的影响. 例3　下表列出了随机选取的、用于计算器的四种 类型的电路的响应时间（以毫秒计）. 试验指标:电路的响应时间 因素:电路类型 水平: 四种电路类型为因素的四个不同的水平 单因素试验 试验目的:考察电路类型这一因素对响应时间有无 　　　　 显著的影响. 　　　　 在每一个水平下进行独立试验,结果是一 个随机变量. 例1 表4.2　亩产量 问题分析 将数据看成是来自四个总体的样本值. 检验假设 检验假设 　　进一步假设各总体均为正态变量,且各总体的 方差相等,但参数均未知. 　　问　　题——检验同方差的多个正态总体均 值是否相等. 　　解决方法——方差分析法,一种统计方法. 数学模型 假设 单因素试验方差分析的数学模型 需要解决的问题 数学模型的等价形式 —数据的总平均 —总离差平方和（总变差） 二、平方和的分解 —组内离差平方和 （误差平方和） —组间离差平方和 （效应平方和） 三、QE , QA 的统计特性 四、假设检验问题的拒绝域 拒绝域形如 检验假设 单因素试验方差分析表 例4　设有三台机器,用来生产规格相同的铝合金薄 板.取样,测量薄板的厚度精确至千分之一厘米.得结 果如下表所示. 解 方差分析表 各机器生产的薄板厚度有显著差异. 无偏估计 五、未知参数的估计 例5 解 例6　下表列出了随机选取的、用于计算器的四种 类型的电路的响应时间（以毫秒计）. 六、小结 1. 随机试验: 单因素试验、多因素试验 2. 单因素试验方差分析步骤 (1) 建立数学模型; (2) 分解平方和; (3) 研究统计特性; (4) 进行假设检验; (5) 估计未知参数.