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定积分 一、定积分问题举例 二、定积分定义 三、定积分的性质 四、牛顿??莱布尼茨公式 一、定积分问题举例 曲边梯形 设函数y?f(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线x?a、x?b、y?0及曲线y?f (x)所围成的图形称为 曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 1.曲边梯形的面积 观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时, 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？ 求曲边梯形的面积 (1)分割: a?x0 x1 x2 ??? xn?1 xn ?b, Dxi=xi-xi?1; 小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi?1xixi); (2)近似代替: (4)取极限: 设??max{Dx1, Dx2,???, Dxn}, 曲边梯形的面积为 以直代曲 2.变速直线运动的路程 已知物体直线运动的速度v?v(t)是时间 t 的连续函数, 且v(t)?0, 计算物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程S. (1)分割: T1?t0t1t2 ??? tn?1tn?T2, Dti?ti?ti?1; (2)近似代替: 物体在时间段[ti?1, ti]内所经过的路程近似为 DSi?v(?i)Dti ( ti?1? iti ); 物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程近似为 (3)求和: (4)取极限: 记??max{Dt1, Dt2,???, Dtn}, 物体所经过的路程为 以不变代变 定积分的定义 在小区间[xi?1, xi]上任取一点xi (i?1, 2,???, n), ??max{Dx1, Dx2,???,Dxn}; 记Dxi=xi-xi?1 (i?1, 2,???, n), a?x0x1x2 ??? xn?1xn?b; 在区间[a, b]内插入分点: 设函数f(x)在区间[a, b]上有界. 即 二、定积分定义 定积分各部分的名称 ? ————积分符号, f(x) ———被积函数, f(x)dx ——被积表达式, x ————积分变量, a ————积分下限, b ————积分上限, [a, b]———积分区间. 说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关, 即 如果函数 f(x) 在区间[a, b]上的定积分存在, 则称 f(x) 在区间 [a, b]上可积. 定理1 如果函数f(x)在区间[a, b]上连续, 则函数f(x)在区间[a, b]上可积. 定理2 如果函数f(x)在区间[a, b]上有界, 且只有有限个间断点, 则函数f(x)在区间[a, b]上可积. 注: 设f (x)在[0, 1]上连续, 则有 位置函数与速度函数之间的联系 设物体从某定点开始作直线运动, 在t时刻物体所经过的路程为S(t), 速度为v?v(t)?S?(t)(v(t)?0), 则在时间间隔[T1, T2]内物体所经过的路程S可表示为 原函数 在区间 I 内, 如果 F ?(x)?f(x), 那么称F(x)为f(x)在区间 I 内 的原函数. 牛顿的发现: 设F(x)是f(x)的原函数, 则有 定积分的几何意义 当f(x)?0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示由曲线y?f(x)、 直线x?a、x?b与x轴所围成的曲边梯形的面积. 当f(x)?0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示曲边梯形面积 的负值. 这是因为 一般地, f(x)在[a, b]上的定积分表示介于x轴、曲线 y?f(x)及直线x?a、x?b之间的各部分面积的代数和. 定积分的几何意义 当f(x)?0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示由曲线y?f(x)、 直线x?a、x?b与x轴所围成的曲边梯形的面积. 当f(x)?0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示曲边梯形面积 的负值. 定积分的几何意义 观察结果: 设f(x)连续, 则有 观察与分析 当f(x)?0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示由曲线y?f(x)、 直线x?a、x?b与x轴所围成的曲边梯形的面积. 三、定积分的性质 两点规定 注: 不论a