小论文——倒立摆与SI鲁棒极点配置.doc

鲁棒极点配置概念在单输入系统控制中的应用 李昊1 陈雯柏2 恒庆海2 （1. 北京机械工业学院 计算机与自动化系 北京 100085； 2. 北京信息工程学院 信息与通信工程系 北京 100101） 摘 要：利用矩阵特征值一阶摄动理论解释了鲁棒极点配置的原始目标，指出以特征向量广义夹角加权和最大化为目标的一些方法存在认识偏差，并根据控制问题的特点重新规定了适用于评估闭环稳定性的评判数；在MATLAB环境下编制了可直接使用拉格朗日方程的程序，求出了二级倒立摆稳定位置附近局部线性化模型，以该评判数为基础在GIP-300-VPPA-L型倒立摆上实现了对二级倒立摆的稳定控制。建模程序经适应性修改后可用于对任意可用拉格朗日方程描述的系统进行建模。 关键字： 特征值一阶摄动 状态反馈 鲁棒极点配置 拉格朗日方程 Robust pole assignment concept used on the SI plant Li Hao1,Chen wen-bai2, Heng qing-hai2 (1. Department of Computer Scicnce Automation, Beijing Institute of Machinery, Beijing 100085, China 2. Department of Information Communication Engineering, Beijing Information Technology Institute, Beijing 100101, China) Abstract: The concept of robust pole assignment was re-explained using eigenvalue perturbation theory and some misunderstandings were pointed out. A new criterion for measuring the stable margin of state-space closed loop system was given. Then the inverted pendulum is stabilized by the controller, which was selected by the criteria. Key words: eigenvalue; state-feedback; robust pole assignment; Lagrange equation 引言 应用线性系统理论的极点配置方法解决控制问题的时候，在证明一个以状态空间模型描述的线性（子）系统为能控后，常基于纯粹的性能因素指定目标极点，为了在参数发生摄动的情况下使极点配置的结果具有鲁棒性，CAVIN等人[1]提出了鲁棒极点配置（RPA）概念，即依靠MI系统控制器相对目标极点的自由度设计具有鲁棒能力的控制器，保证闭环极点对系统参数摄动具有较低的敏感度。为此目标，CAVIN[1]提出了第一种解决方案，实质上以特征向量广义夹角加权和最大化为目标（以下简称MaxA）；后来KAUTSKY等人[2]以使闭环系统矩阵关于特征值问题的谱条件数最小为目标，以鲁棒特征结构配置（以下简称RFSP）的名目完成了第二种方法，通过使各极点对应的特征向量矩阵尽量正交化，具体的执行过程可形容为“循环掰”。根据CAVIN的方案还衍生了一系列类似的方法[3]、[4]、[5]。 但这些算法都缺乏对不同闭环极点的区别对待，因为在所有极点具有同样摄动敏感度时，显然距离虚轴更远的比较近的对系统稳定性威胁更小；MaxA类型的方法试图使各右特征向量内积之和尽量小，客观上相当于要各右特征向量之间互相正交化（90°是单角最大），在输入比状态数小不多时容易利用自由度向这一目的靠拢[5]，但杨亚光等人[3]指出，这种方法仅在右特征向量间内积绝对值之和的两倍小于n/(n-1)时才有效。 问题描述 由特征值一阶摄动理论[6]（以下简称EPT）得知，设某一n维方阵有一组相异的特征值，是一个很小的常数，为与维数相同且具有代表摄动形式特征的矩阵，在受到摄动变为后，其单根在影响下的摄动大小等于，与分别是对应的单位化了的左、右特征向量。由于实际系统的复杂性、以及在控制问题中因状态反馈下闭环矩阵具有的形式，闭环摄动阵不仅与、，甚至还与有关，故经常很难对进行正交化分解和确定元素的比例大小。但即使在无法确定形式的情况下，特征值摄动的大小也仍然与成反比，并且该组值仅取决于名义闭环系统矩阵，可见，各特征值的摄动灵敏度判据之间是独立的，可能出现同一个闭环系统的两个特征值摄动灵敏度相差悬殊的情况。因此可以以使的某元素尽可能大作为目标（以下简称EPT目标）提高对应闭