巴特沃斯滤波器设计.doc

二、巴特沃斯（Butterworth）低通滤波器的设计 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数定义为 （5-8） 其中C为一常数参数，N为滤波器阶数，为归一化低通截止频率, 。 式中N为整数，是滤波器的阶次。 巴特沃斯低通滤波器在通带内具有最大平坦的振幅特性，这就是说，N阶低通滤波器在处幅度平方函数的前2N-1阶导数等于零，在阻带内的逼近是单调变化的。巴特沃斯低通滤波器的振幅特性如图5-5所示。 滤波器的特性完全由其阶数N决定。当N增加时，滤波器的特性曲线变得更陡峭，这时虽然由（5-8）式决定了在处的幅度函数总是衰减3dB，但是它们将在通带的更大范围内接近于1，在阻带内更迅速的接近于零，因而振幅特性更接近于理想的矩形频率特性。滤波器的振幅特性对参数N的依赖关系如图5-5所示。 设归一化巴特沃斯低通滤波器的归一化频率为，归一化传递函数为，其中，则由（5-6）式和（5-8）式得： 由于 （5-9） 所以巴特沃斯滤波器属于全极点滤波器。 1、常用设计巴特沃斯低通滤波器指标 ：通带截止频率； ：通带衰减，单位：dB； ：阻带起始频率； ：阻带衰减，单位：dB。 说明： （1）衰减在这里以分贝（dB）为单位；即 （2）当时为通常意义上的截止频率。 （3）在滤波器设计中常选用归一化的频率，即 2、巴特沃斯低通滤波器设计实质 根据设计指标要求，，，确定归一化巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数中的待定系数C及滤波器的阶数N；然后再根据幅度平方函数确定巴特沃斯低通滤波器的传递函数H(s)。 （1）将实际频率归一化得，，再根据已知的，，幅度平方函数 确定C和N。 （2） 求C和N 由并带入 ，，，得 即 因为，所以 由两边取对数得： 其中 这样可以求出C和N。 注意：当时，，即C=1，此时巴特沃斯滤波器只剩下一个参数N。 （3）确定巴特沃斯滤波器的传递函数H(p)。 由于 由，解得极点为： 将p左半平面的极点赋予即 其中 为了便于设计，工程上已将当时，各阶巴特沃斯低通滤波器系统函数设计成表格供查阅，该表如表5-1所示。在表5-1中的函数被称为归一化巴特沃斯原型低通滤波器系统函数。 表5-1 归一化巴特沃斯模拟低通滤波器系统函数表 阶次 归一化系统函数 1 2 3 4 5 （4）去掉归一化影响 上面设计中采用归一化的频率即，而实际中截止频率为，所以要进行如下的变量代换： 即 综上，归纳出设计巴特沃斯低通滤波器的方法如下： （1）计算归一化频率，。 （2） 根据设计要求按照和其中计算巴特沃斯滤波器的参数C和阶次N；注意当时 C=1。 （3）利用N查表获得归一化巴特沃斯低通原型滤波器的系统函数； （4）令中的得到截止频率为的巴特沃斯低通滤波器的系统函数。 例5-2 已知滤波器的3dB截止频率为50Hz，试求一个二阶巴特沃斯低通滤波器的实现方案。解： 根据题义，滤波器设计指标为：截止频率；阶数N=2；查表得归一化低通巴特沃斯原型滤波器的系统函数为： rad/s，代入得： 例5-3 试设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求截止频率，通带最大衰减，阻带起始频率，阻带最小衰减。 解：已知，，， （1）计算归一化频率，。 （2）计算出巴特沃斯滤波器的阶次N及C 则 选择N=5。 （3）利用N查表获得归一化巴特沃斯低通原型滤波器的系统函数； （4）去掉归一化影响 三、切比雪夫（Chebyshev）滤波器设计 巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带内还是阻带内都是频率的单调函数。因此，当通带的边界处满足指标要求时，通带内肯定会有裕量。所以，更有效的设计方法应该是将精确度均匀的分布在整个通带或阻带内，或者同时分布在两者之内。这样就可用较低阶数的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。 切比雪夫滤波器的振幅特性就具有这种等波纹特性。它有两种类型：振幅特性在通带内是等波纹的，在阻带内是单调的称为切比雪夫I型滤波器；振幅特性在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的称为切比雪夫II型滤波器。采用何种形式的切比雪夫滤波器取决于实际用途。图5-7和图5-8分别画出了N为奇数、偶数时的切比雪夫I、II型滤波器的频率特性。 1、切比雪夫I型滤波器的基本特点 现在介绍切比雪夫I型滤波器的设计，切比雪夫归一化滤波器的幅度平方函数为 （5-11） 为小于1的正数，表示通带内振幅波动的程度。越大，波动也越大。为对截止频率的归一化频率，为截止频率，也是滤波器的通带带宽（注：切比雪夫滤波器的通带带宽并不一定是3dB