常州市2013届高三期末调研测试数学试卷与评分标准(word版).doc

常州市2013届高三期末调研测试数学试卷及评分标准 数学Ⅰ试题 2013.1.25 参考公式： 样本数据，，… ，的方差，其中=． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1． 设集合，，若，则实数的值为 ▲ ． 2． 已知复数（为虚数单位），计算：? ▲ ． 3． 已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率的值为 ▲ ． 4． 根据右图所示的算法，可知输出的结果为 ▲ ． 5． 已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中，有2幅是膺品．某人在这次拍卖中随机买入了一幅画，则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为 ▲ ． 6． 函数的最小正周期为 ▲ ． 7． 函数的值域为 ▲ ． 8． 已知点和点在曲线C：为常数上，若曲线在点和点处的切线互相平行，则 ▲ ． 9． 已知向量，满足，，则向量，的夹角的大小为 ▲ ． 10． 给出下列命题： （1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； （2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； （3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直； （4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，所有真命题的序号为 ▲ ． 11． 已知函数f(x)＝，若关于x的方程f(x)＝kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是 ▲ ． 12． 已知数列满足，，则= ▲ ． 13． 在平面直角坐标系中，圆：分别交轴正半轴及轴负半轴于，两点，点为圆上任意一点，则的最大值为 ▲ ． 14．已知实数同时满足，，，则的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知均为锐角，且，． （1）求的值； （2）求的值． 16．（本小题满分14分） 如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB， ，，直线PA与底面ABCD所成角为60°，点M、N分别是PA，PB的中点． （1）求证：MN∥平面PCD； （2）求证：四边形MNCD是直角梯形； （3）求证：平面PCB ． 17．（本小题满分14分） 第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD，，．a，b为常数且满足.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块建游客休息区（点E，F分别在线段AB，AD上），且该直角三角形AEF的周长为（），如图．设，△的面积为． （1）求关于的函数关系式； （2）试确定点E的位置，使得直角三角形地 块的面积最大，并求出的最大值． 18．（本小题满分16分） 如图，在平面直角坐标系xoy中，已知分别是椭圆E:的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且. （1）求椭圆E的离心率； （2）已知点为线段的中点，M 为椭圆上的动点（异于点、），连接并延长交椭圆于点，连接、并分别延长交椭圆于点、，连接，设直线、的斜率存在且分别为、，试问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19．（本小题满分16分） 已知数列是等差数列，，数列是等比数列，． （1）若．求数列和的通项公式； （2）若是正整数且成等比数列，求的最大值． 20．（本小题满分16分） 已知函数. （1）若a=1，求函数在区间的最大值; （2）求函数的单调区间； （3）若恒成立，求的取值范围． 2013届高三教学期末调研测试 数学Ⅱ（附加题） 2013．1 21．【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修4—1：几何证明选讲 如图，是⊙的直径，是⊙上的两点，⊥， 过点作⊙的切线FD交的延长线于点．连结交 于点. 求证：. B．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵，若矩阵属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为．求矩阵的逆矩阵． C．选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，判断两曲线的位置关系． D．选修4—5：不等式选讲 设，求证：． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分) 袋中装有大小相同的黑球和