常微分方程证明题.doc

常微分方程试题——证明题 证明题 1. 试证：如果是满足初始条件的解，那么 . 2. 设和是方程的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式，其中为常数． 3. 假设不是矩阵的特征值，试证非齐线性方程组，有一解形如：，其中是常数向量. 4. 设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x的积分因子. 5. 设在上连续，且，求证：方程的任意解均有. 6. 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解. 7. 阶齐线性方程一定存在个线性无关解. 8. 设是一阶非齐次线性方程于区间上的任一解，是其对应一阶齐次线性方程于区间上的一个非零解。则含有任意常数C的表达式： 是一阶非齐次线性方程于区间上的全部解的共同表达式。 9. 设矩阵函数，在（a, b）上连续，试证明，若方程组与有相同的基本解组，则?。 10. 证明： 一个复值向量函数是（LH）的解的充要条件，它的实部和虚部都是（LH）的解。 （五）、证明题参考答案及评分标准 (每题10分) 1. 试证：如果是满足初始条件的解，那么 . 证明：因为是的基本解矩阵，是其解，所以存在常向量使得： ， （2分） 令，则： ， （2分） 所以 ， （2分） 故 （4分） 2. 设和是方程的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式，其中为常数． 证明：设在区间上连续，由刘维尔公式可知，对任意，它们的朗斯基行列式满足： ， （4分） 而在方程中，，所以 ， （4分） 即 ， （2分） 3. 假设不是矩阵的特征值，试证非齐线性方程组，有一解形如：.其中是常数向量. 证明：要证是解，就是要证能够确定常数向量，它使得 ， （2分） 即，成立。 （2分） 亦即 ， （2分） 由于不是的特征值，故，从而存在逆矩阵， 那么可取向量 ， ， （2分） 这样方程就有形如的解. （2分） 4. 设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x的积分因子. 证明：先证必要性，设方程为线性方程，即 ， （2分） 所以 ， ， （2分） 即它有仅依赖与x的积分因子，且 是其积分因子。（1分） 再证充分性，因为在方程，中 所以 ， （2分） （1分） 如果它有仅依赖与的积分因子，则是的函数，设 （1分） 关于积分得：，是的可微函数，故方程可表为： 是线性方程. （2分） 5. 设在上连续，且，求证：方程的任意解均有. 证明：设为方程的任一解，它满足初始值条件，由常数变易法有： ??????????????????， （4分） 于是 （2分） = 0 + （4分） 6. 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解. 证明：设为黎卡提方程的一个特解，则 ， （2分） 令，则有 （3分） 整理得： （3分） 它是的伯努利方程，可用初等积分法求它的通解. （2分） 7. 阶齐线性方程一定存在个线性无关解. 证明：设的系数矩