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平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第7讲要素需求函数、成本函数、利润函数与供给函数)平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第7讲要素需求函数、成本函数、利润函数与供给函数)
平新乔《微观经济学十八讲》第7讲 要素需求函数、成本函数、利润函数与供给函数
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1.已知生产函数为,求利润函数,并用两种方法求供给函数。
解:(1)由已知可得,厂商的利润函数为:
利润最大化的一阶条件为:
解得:,。
把和的表达式代入目标函数式中就得到了利润函数:
(2)方法一:根据霍太林引理:
可知厂商的供给函数为:
方法二:把和的表达式代入厂商的生产函数中,也可以得到供给函数:
2.已知成本函数为,求竞争性厂商供给函数与利润函数。
解:厂商关于产量的利润函数为:
利润最大化的一阶条件为:
解得厂商的供给函数为:
把代入中,就得到了利润函数:
3.下列说法对吗?为什么?
函数可以成为—个利润函数。
答:(1)题中说法不对。
(2)因为利润函数关于产品价格和要素价格是一次齐次函数,即对任意的,都有。
对于函数,有,可知该利润关于价格不是一次齐次的,因此该函数不可以成为一个利润函数。
4.在一篇著名的论文里(J.Viner:“Cost Curves and Supply Curves”.Zeitschrift fur Nationalokonomie 3(September 1931):23-46),维纳批评他的绘图员不能画出一组曲线,并令其与U型线的切点也分别是每一条线的最低点。绘图员抗议说这种画法是不可能做出的。在这一辩论中,你将支持哪一方?
答:在这一辩论中,我会支持绘图员一方。理由如下:
假如可以按照维纳的意思作出一组短期平均成本线,其中,2,…,,使得它们和U型的长期平均成本线分别相切于点,而且切点是的最低点。如果不是线的最低点,那么过该点作的切线,它应该是一条水平的直线。同时过点作线的切线,由于不是线的最低点,所以必定不是水平的。可是和相切于点却意味着和是同一直线,所以它们有相同的斜率,这样的结果相互矛盾。因此,如果不是线的最低点,那么它必然不是的最低点。但是,如果是线的最低点,那么它也是的最低点。
5.施教授与纪教授将出版一本新的初级教科书。作为真正的科学家,他们提供了写作本书的生产函数如下:
其中是完成本书的页码数,为施教授将要支出的工作时间(小时)数,为纪教授花费的工作小时数。施教授认为其每小时工作价值为3美元,他花费了900小时准备初稿。纪教授的每小时工作价值为12美元,并将修改施教授的初稿以完成此书。
(1)纪教授必须耗费多少小时,以完成一本具有下列页数的书:150页?360页?450页?
(2)一本150页的成书的边际成本是多少?300页的书的边际成本是多少?450页的书的边际成本是多少?
解:(1)由于施教授已经花费了900个小时准备初稿,所以生产函数就变为:
这样本问题就变成了求解下面三个方程:
,,
解得小时,小时,小时。
(2)生产书的成本函数为:
相应的边际成本。把、、分别代入边际成本的表达式得到:,,。
6.假定厂商生产函数为柯布一道格拉斯生产函数,有
(其中。)厂商可以在竞争性投入市场购买租金价格分别为与的任意数量的与。
(1)证明成本最小化要求
该厂商的扩张线的形状是什么?
(2)假定成本最小化,证明总成本可以表示为下述的关于,与的函数
这里,是依赖于与的常量。提示:这部分可通过运用(1)中的结果去计算作为的函数,以及作为的函数并代入到生产函数中去。
(3)证明如果,则与成比例。
证明:(1)厂商的成本最小化问题为:
建立拉格朗日函数:
拉格朗日函数分别对、和求导,就得到:
①
②
③
从①式和②式中消去就得到:
④
生产扩张线是指在技术水平和投入要素价格不变的条件下,由投入总成本的变化而引起的最优要素比例的变动的轨迹。在本题中,由于最优的要素组合满足④式,从而得到,这说明生产扩张线是一条经过原点的射线。
(2)从④式中解出关于的表达式后,代入③式中,就可以解出的表达式:
⑤
把⑤式代入④式中,就有:
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