平方差公式的广义理解及应用.doc

平方差公式的广义理解及应用 河南省潢川县张集乡中学 王启清 各位领导、各位同行，上午好！ 首先感谢教研室和伞陂中学的领导给我提供一个向大家汇报学习心得的平台。把我在教学上的一点做法在这里提出来，与大家共勉。 在协作区教研活动中，2007年在我们张集中学举办了一次由我执教的数学观摩课，执教的内容是《实际问题与二次函数》，受到参加听课的领导和教师的一致好评，特别是学生又快又准确的运算给大家留下深刻印象。今天我就在这里向大家汇报学生是怎么快速运算的，也就是我今天向大家汇报的内容《平方差公式的广义理解及应用》。首先请大家看两个实际问题。 问题1 世博会期间上海某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满；当房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对游客居住的每个房间每天支付20元的各种费用。根据规定，每个房间的房价不得高于340元。当房间的房价每天增加多少元时，宾馆一天的利润达到9200元？ 解：设宾馆每个房间的房价每天增加x元，根据宾馆一天的利润为9200元列方程得 （180+x-20）（50-）=9200 一般解法： 我的解法： 问题2 政府大力扶持大学生创业。李明在某市政府的扶持下，投资销售一种进价为20元的护眼灯，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看做一次函数y=—10x+500，设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ 解：由题意可得 W=(x-20)(-10x+500) =-10x2+500x+200x-10000 =-10x2+700-10000 =-10（x2-70x）-10000 =-10﹝（x2-70x+352）-352﹞-10000 =-10（x-35）2+10×352-10000 =-10（x-35）2+2250 即当x=35时，w有最大值，w最大=2250 而我的做法是： W=(x-20)(-10x+500) =-10（x-20）（x-50） =-10（x-35）2+2250 即当w=35时，w有最大值，w最大=2250 从以上两个问题中，大家很容易发现，问题1和问题2中都是形如（ax+b）（cx+d）式子，而又都是需要转化为a（x-h）2+k的形式。而这种转化过程的一般的解法都是把(ax+b)(cx+d)先整理为ax2+bx+c的形式后，再通过配方才能把它们转化为a（x-h）2+k的形式。这个过程不仅环节多、运算量大，且易出错。而我的做法是由（x+a）（x+b）直接转化为（x-h）2+k的形式。这不仅减少了中间环节，而且运算步骤少，运算量小，有的仅仅用心算就行了。 我这种做法有没有依据？是怎么做的呢？这就是我今天向大家汇报的内容。它是我基于对平方差公式的广义理解的实际应用。下面先我们来回顾平方差公式。 一 平方差公式 （x+y）（x-y）=x2-y2 这个公式除了课标里告诉我们性质及应用以外，我们还应该获得这样一个信息：这个公式是在告诉我们等式两边的运算方式发生了相互转换：即积与平方差这两种运算方式能够相互转化。今天我们着重探究积是怎么直接转变为平方差的。即ab=（ ）2-（ ）2的形式。 这个平方差的底数是多少呢？ 我们设： x+y=a x-y=b 解得 x=， y= 所以我们得到公式：ab=（）2-（）2。 这就告诉我们，任何两个因数的积都能表示成平方差的形式，而且积的大小跟这两个数的和与它们的差的大小相关。如果两个因数的和一定，它们的积就只跟它们的差相关了，即两个因数和一定时，它们的差越大这个积就越小，差越小时积就越大，平方幂（差为0时）是最大的积. 二 平方差公式的几何意义 如果我们在数轴上任取两点表示a、b。则表示以a、b为端点的线段的中点表示的数；表示以a、b为端点的线段长的一半。则这个平方差的几何意义就是：任何两个数的积等于以这两个数为端点的线段中点表示的数与这个线段长度的一半的平方差。 b a 因此，我们把形如（ax+b）（ax+c）直接可以转化为（ax+h）2+k的形式了，因为 （ax+b）（ax+c）=［］2-［］2 即（ax+b）（ax+c）=（ax+）2-（）2 所以 h= k=-（）2 三 平方差公式的应用 问题3 不计算把下列各式从大到小排列出来 17×19 13×23 182 11×25 15×2