平行四边形与三角形中位线.doc

平行四边形 知识梳理 1. 平行四边形的定义： （1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （2）表示：平行四边形用符号“”来表示． 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． 注意：平行四边形中的对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角。而三角形的对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角。 2. 平行四边形的性质 （1）边：平行四边形的对边平行且相等． （2）角：平行四边形的对角相等． （3）对角线：平行四边形的对角线互相平分． （4）对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心． 3. 平行四边形的判定方法 （1）定义识别：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （2）用平行四边形的判定定理识别： 判定定理①：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 判定定理②：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 判定定理③：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 4. 三角形中位线 （1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．每个三角形都有三条中位线． （2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半． 典型例题 知识点一：平行四边形的性质的应用 例1. 已知：ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F． 求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF． 思路分析： 1）题意分析：本题考查平行四边形的性质应用。 2）解题思路：求证线段相等可利用三角形全等，即证出OE、OF所在三角形全等，即△AOE≌△COF。 解答过程： ∵四边形ABCD是平行四边形，AB∥CD， ∴∠1＝∠2．∠3＝∠4． 又OA＝OC（平行四边形的对角线互相平分）， ∴△AOE≌△COF（AAS）． ∴OE＝OF，AE=CF（全等三角形对应边相等）． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD（平行四边形对边相等）． ∴AB－AE=CD－CF．即BE=DF． 解题后的思考：利用平行四边形的性质，可以证角相等、线段相等。其关键是根据所要证明的全等三角形，选择需要的边、角相等条件。 例2. 已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及 ABCD的面积． 思路分析： 1）题意分析：本题考查平行四边形的性质与勾股定理的应用。 2）解题思路：由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的长．再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底×高（高为此底上的高），可求得ABCD的面积。 解答过程：在 ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm， BC=AD=8cm、CD=AB=10cm。∵AC⊥BC， 在Rt△ABC中，由勾股定理 ABCD的面积=8×6=48cm2． 解题后的思考：这道题考查平行四边形面积的计算．解题时需要应用勾股定理，先求得平行四边形一边上的高，然后才能应用该公式计算．在以后的解题过程中，还会遇到需要应用勾股定理来求高或底的问题。 知识点二：平行四边形判定定理的应用 例3. 已知：如图，ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形． 思路分析： 1）题意分析：本题考查平行四边形的判定。 2）解题思路：这道题是平行四边形的性质与判定的综合运用。此题有多种解法，其中利用对角线互相平分的性质来证明较为简单。 解答过程：在ABCD中，对角线AC、BD交于点O， ∴AO=CO，BO=DO． ∵AE=CF ∴AO－AE=CO－CF，OE=OF ∴四边形BFDE是平行四边形 解题后的思考：你还有其他的证明方法吗？比较一下，哪种证明方法简单。 例4. 已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC． 求证：（1）∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′； （2）△ABC的顶点A、B、C分别是△B′C′A′各边的中点． 思路分析： 1）题意分析：本题考查平行四边形的性质与判定的综合运用 2）解题思路：根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可知四边形ABCB′是平行四边形，再利用平行四边形的性质可得所求结论。 解答过程： （1）∵A′B′∥BA，CB∥B′C′， ∴四边形ABCB′是平行四边形． ∴∠ABC＝∠B′（平行四边形的对角相等）． 同理∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′． （2）由（1）证得四边形ABCB′是平行四边形．同理，四边形ABA′C是平行四边形． ∴AB＝B′C， AB＝A′C