平面向量复习二1.doc

5.2 向量的数量积 ●知识梳理 1.数量积的概念： （1）向量的夹角：如下图，已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉. （2）数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b=|a||b|cosθ. （3）数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积. 2.数量积的性质：设e是单位向量，〈a，e〉=θ. （1）e·a=a·e=|a|cosθ. （2）当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=－|a||b|，特别地，a·a=|a|2，或|a|=. （3）a⊥ba·b=0. （4）cosθ=. （5）|a·b|≤|a||b|. 3.运算律：（1）a·b=b·a；（2）（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）；（3）（a+b）·c=a·c+b·c. 4.向量数量积的坐标运算： 设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则 （1）a·b=x1x2+y1y2； （2）|a|=； （3）cos〈a，b〉=； （4）a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0. 思考讨论 （a·b）c与a（b·c）是否相等? ●点击双基 1.（2004年全国Ⅰ，3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|等于 A. B. C. D.4 解析：|a+3b|====. 答案：C 2.若向量a与b的夹角为60°，|b|=4，（a+2b）·（a－3b）=－72，则向量a的模是 A.2 B.4 C.6 D.12 解析：（a+2b）·（a－3b）=|a|2－|a||b|cos60°－6|b|2=|a|2－2|a|－96=－72，∴|a|2－2|a|－24=0.∴（|a|－6）·（|a|+4）=0.∴|a|=6. 答案：C 3.已知a=（λ，2），b=（－3，5），且a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是 A.λ＞ B.λ≥ C.λ＜ D.λ≤ 解析：∵a与b的夹角为钝角，∴cos〈a，b〉＜0. ∴a·b＜0.∴－3λ+10＜0.∴λ＞. 答案：A 4.（2004年上海，6）（理）已知点A（1，－2），若向量与a=（2，3）同向，||=2，则点B的坐标为____________. 解析：设A点坐标为（xA，yA），B点坐标为（xB，yB）. ∵与a同向，∴可设=λa=（2λ，3λ）（λ＞0）. ∴||==2，∴λ=2. 则=（xB－xA，yB－yA）=（4，6）， ∴∵∴ ∴B点坐标为（5，4）. 答案：（5，4） （文）已知点A（－1，－5）和向量a=（2，3），若=3a，则点B的坐标为____________. 解析：设B点坐标为（xB，yB）， 则=（xB+1，yB+5）=3a=（6，9）， ∴∴ ∴B（5，4）. 答案：（5，4） ●典例剖析 【例1】 判断下列各命题正确与否： （1）若a≠0，a·b=a·c，则b=c； （2）若a·b=a·c，则b≠c当且仅当a=0时成立； （3）（a·b）c=a（b·c）对任意向量a、b、c都成立； （4）对任一向量a，有a2=|a|2. 剖析：（1）（2）可由数量积的定义判断.（3）通过计算判断.（4）把a2转化成a·a=|a|2可判断. 解：（1）a·b=a·c，∴|a||b|cosα=|a||c|cosβ（其中α、β分别为a与b，a与c的夹角）.∵|a|≠0，∴|b|cosα=|c|cosβ. ∵cosα与cosβ不一定相等，∴|b|与|c|不一定相等.∴b与c也不一定相等.∴（1）不正确. （2）若a·b=a·c，则|a||b|cosα=|a||c|cosβ（α、β为a与b，a与c的夹角）. ∴|a|（|b|cosα－|c|cosβ）=0. ∴|a|=0或|b|cosα=|c|cosβ. 当b≠c时，|b|cosα与|c|cosβ可能相等. ∴（2）不正确. （3）（a·b）c=（|a||b|cosα）c， a（b·c）=a|b||c|cosθ（其中α、θ分别为a与b，b与c的夹角）. （a·b）c是与c共线的向量， a（b·c）是与a共线的向量. ∴（3）不正确.（4）正确. 评述：判断上述问题的关键是要掌握向量的数量积的含义，向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律. 【例2】 平面内有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点X为直线OP上的一个动点. （1）当·取最小值时，求的坐标； （2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cos∠AXB的值. 剖析：因为点X在直线OP上，向量与共线，可以得到关于坐标的一个关系式，再