平面弯曲梁的强度和刚度计算.doc

第八章 平面弯曲梁的强度与刚度计算 §8-1 纯弯曲时横截面的正应力 一．纯弯曲试验： 纯弯曲：内力只有弯矩，而无剪力的弯曲变形。 剪切弯曲：既有弯矩，又有剪力的弯曲变形。 　　为了研究梁横截面上的正应力分布规律，取一矩形截面等直梁，在表面画些平行于梁轴线的纵线和垂直干梁轴线的横线。在梁的两端施加一对位于梁纵向对称面内的力偶，梁则发生弯曲。梁发生弯曲变形后，我们可以观察到以下现象： ①横向线仍是直线且仍与梁的轴线正交，只是相互倾斜了一个角度； ②纵向线（包括轴线）都变成了弧线； ③梁横截面的宽度发生了微小变形，在压缩区变宽了些，在拉伸区则变窄了些。 根据上述现象，可对梁的变形提出如下假设： ①平面假设：梁弯曲变形时，其横截面仍保持平面，且绕某轴转过了一个微小的角度。 ②单向受力假设：设梁由无数纵向纤维组成，则这些纤维处于单向受拉或单向受压状态。 ? 　　 可以看出，梁下部的纵向纤维受拉伸长，上部的纵向纤维受压缩短，其间必有一层纤维既不伸长也木缩短，这层纤维称为中性层。中性层和横截面的交线称为中性轴，即图中的Z轴。梁的横截面绕Z轴转动一个微小角度。 二．梁横截面上的正应力分布： 　 图中梁的两个横截面之间距离为dx，变形后中性层纤维长度仍为dx且dx=ρdθ。距中性层为y的某一纵向纤维的线应变ε为：? 对于一个确定的截面来说，其曲率半径ρ是个常数，因此上式说明同一截面处任一点纵向纤维的线应变与该点到中性层的距离成正比。 由单向受力假设，当正应力不超过材料的比例极限时，将虎克定律代入上式，得： ? 由上式可知，横截面上任一点的弯曲正应力与该点到中性轴的距离成正比，即正应力沿截面高度呈线性变化，在中性轴处，y=0，所以正应力也为零。 ? 　　 三．梁的正应力计算： ? 在梁的横截面上任取一微面积dA，作用在这微面积上的微内力为σdA，在整个横截面上有许多这样的微内力。微面积上的微内力σdA对z轴之矩的总和，组成了截面上的弯矩 则 式中 称为横截面对中性轴的惯性矩，是截面图形的几何性质，仅与截面形状和尺寸有关。 　　上式是梁纯弯曲时横截面上任一点的正应力计算公式。应用时M及y均可用绝对值代入，至于所求点的正应力是拉应力还是压应力，可根据梁的变形情况，由纤维的伸缩来确定，即以中性轴为界，梁变形后靠凸的一侧受拉应力，靠凹的一侧受压应力。也可根据弯矩的正负来判断，当弯矩为正时，中性轴以下部分受拉应力，以上部分受压应力，弯矩为负时，则相反。 　　横截面上最大正应力发生在距中性轴最远的各点处。即 令 则 WZ称为抗弯截面模量，也是衡量截面抗弯强度的一个几何量，其值与横截面的形状和尺寸有关。　　弯曲正应力计算公式是梁在纯弯曲的情况下导出来的。对于一般的梁来说，横截面上除弯矩外还有剪力存在，这样的弯曲称为剪切弯曲。在剪切弯曲时，横截面将发生翘曲，平截面假设不再成立。但较精确的分析证明，对于跨度l与截面高度h之比 l/h5的梁，计算其正应力所得结果误差很小。在工程上常用的梁，其跨高比远大于5，因此，计算式可足够精确地推广应用于剪切弯曲的情况。 §8-2 常用截面二次矩 平行移轴公式 一、常用截面二次矩： 1、矩形截面： 2、圆形截面与圆环形截面： ①圆形截面： IZ＝Πd4/64 WZ＝Πd3/32 ②圆环形截面： IZ＝Π（D4－d4）/64 WZ＝Πd3{1-(d/D)4}/32 3、型钢的截面：查表，见附录。 二．组合截面二次矩 平行移轴公式： 计算弯曲正应力时需要截面对中性轴的惯性矩，截面的中性轴又是截面的形心主轴。在截面上任一点K，取邻域dA，K点到z轴、y轴的距离分别为y、z，定义y2dA、z2dA为微元对z轴、y轴的惯性矩，分别记作： dIz=y2dA dIy=z2dA 上式对整个截面积分，得截面对z轴、y轴的惯性矩： 图所示的截面形心为C，面积为A，zc轴、yc轴通过截面形心C，现有不通过形心的z轴、y轴分别与zc轴、yc轴平行，两轴之间的距离分别为a、b，截面对z轴、zc轴以及对y轴、yc轴的惯性矩有以下关系： IZ=IZc+a2A IY=IYc+b2A 上式称为惯性矩的平行移轴公式，即截面对任一轴z的惯性矩等于该截面对过形心而平行于z轴的zc轴的惯性矩加上两轴之间的距离的平方与截面面积的乘积 见教材P146例题8.1。 §8-3 弯曲正应力强度计算 为保证梁安全地工作，危险点处的正应力必须小于梁的弯曲许用应力[σ]，这是梁的正应力强度条件。对于塑性材料，其抗拉和抗压强度相同，宜选用中性轴为截面对称轴的梁，其正应力强度条件为： 对于脆性材料，其抗拉和抗压强度不同，宜选用中性轴不是截面对称轴梁，并分别对抗拉和抗压应力建立强度条件： 对于中