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高中数学一轮复习课件:函数的图像和性质讲述
考纲
要求
1.掌握基本函数的图象的特征,能熟练运用基本函数的图象解决问题.
2.掌握图象的作法、描点法和图象变换法.
热点提示
图象是函数刻画变量之间的函数关系的一个重要途径,是研究函数性质的一种常用方法,是数形结合的基础和依据,预测在今后的高考中将会加大对函数图象考查的力度.主要以选择题、填空题形式出现,主要考查形式有:知图选式、知式选图、图象变换(平移、对称、伸缩变换),以及自觉地运用图象解题.因此要注意识图读图能力的提高以及数形结合思想的灵活运用.
1.作图
(1)列表描点法
其基本步骤是列表、描点、连线,首先:①确定函数的 ;②化简函数 ;③讨论函数的性质( 、 、 、 等);其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最高点、最低点、与坐标轴的交点),描点,连线.
定义域
解析式
奇偶性
单调性
周期性
对称性
(2)图象变换法
平移变换
①水平平移:y=f(x±a)(a0)的图象,可由y=f(x)的图象向 (+)或向 (-)平移 单位而得到.
②竖直平移:y=f(x)±b(b0)的图象,可由y=f(x)的图象向 (+)或向 (-)平移 单位而得到.
左
右
a个
上
下
b个
对称变换
①y=f(-x)与y=f(x)的图象关于 对称.
②y=-f(x)与y=f(x)的图象关于 对称.
③y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于 对称.
④y=f-1(x)与y=f(x)的图象关于直线 对称.
⑤要得到y=|f(x)|的图象,可将y=f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方,其余部分不变.
y轴
x轴
原点
y=x
⑥要得到y=f(|x|)的图象,可将y=f(x),x≥0的部分作出,再利用偶函数的图象关于 的对称性,作出x0的图象.
y轴
伸缩变换
①y=Af(x)(A0)的图象,可将y=f(x)图象上所有点的纵坐标变为 , 不变而得到.
②y=f(ax)(a0)的图象,可将y=f(x)图象上所有点的横坐标变为 的倍, 不变而得到.
2.识图
对于给定的函数的图象,要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究 、 、 、 ,注意图象与函数解析式中参数的关系.
原来的
原来的A倍
横坐标
纵坐标
定义域
值域
单调性
奇偶性
周期性
3.用图
函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.
4.图象对称性的证明
证明函数图象的对称性,即证明其图象上的任意一点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图象上.
解析:因y=- =-5-x,所以关于原点对称.
答案:C
答案:D
3.为了得到函数f(x)=log2x的图象,只需将函数g(x)=log2 的图象________.
答案:向上平移3个单位
解析:按图象逐个分析,注意x、y的取值范围.
答案:④②①③
5.作出下列函数的图象:
(1)y=10|lgx|;
(2)y=x-|x-1|.
根据直线与反比例函数直接作出该分段函数的图象,如下图(1)所示.
【例1】 分别画出下列函数的图象:
(1)y=|lgx|;
(2)y=2x+2;
(3)y=x2-2|x|-1.
本题先将函数化简,转化为作基本函数的图象的问题.作分段函数的图象时要注意各段间的“触点”.同时也可利用图象变换得出.
【例2】 回答下述关于图象的问题:
(1)向形状如右图,高为H的水瓶注水,注满为止,若将注水量V看作水深h的函数,则函数V=f(h)的图象是下图中的 ( )
(2)某学生一天早晨离家去学校,开始骑自行车,中途自行车胎破,他只好推着自行车赶到学校.若将这天早晨他从家里出来后离学校的距离d表示为他出发后的时间t的函数d=f(t),则函数f(t)的大致的图象是下图中的( )
解:(1)水量V显然是h的增函数,将容器的高等分成n段,每一段记为Δh,从开始注水起(即从下到上)计算,每段Δh对应的水量分别记为ΔV1,ΔV2,…,ΔVn,由于容器上小下大,∴ΔV1ΔV2…ΔVn,即当h愈大时,相等高度增加的水量愈少,∴其图象呈“上凸”形状,故选A.
(2)∵时间t愈大,该学生离学校的距离d愈小,∴d是t的减函数,答案应为C、D中的一个,由于前一段时间速度快,后一段时间速度慢,即的值前大后小,故选D.
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