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高中数学新课标人教A版选修2-2:1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件(共31ppt)讲述
第一章 导数及其应用
1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题
1.1.2 导数的概念
早在十七世纪,欧洲资本主义发展初期,由于工场的手工业向机器生产过渡,提高了生产力,促进了科学技术的快速发展,其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果——微积分的产生。
牛
顿
莱
布
尼
茨
背景介绍
微积分的奠基人是牛顿和莱布尼茨,他们分别从运动学和几何学角度来研究微积分。微积分靠着解析几何的帮助,成为十七世纪最伟大的数学发现,此后,微积分得到了广泛应用。
例如,在军事上,战争中涉及炮弹的最远射程问题,天文学上,行星与太阳的最近与最远距离问题等等,甚至连历法、农业都与微积分密切相关,更不用说在我们的日常生活中所碰到的那些问题了。
1.了解导数概念的实际背景,体会导数的思想及其内涵.
2.导数概念的实际背景,导数的思想及其内涵.(重点)
探究点1 变化率问题
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球.回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是
如果将半径r表示为体积V的函数,那么
当V从0增加到1L时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
当V从1L增加到2L时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
显然0.620.16
我们来分析一下:
思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均
膨胀率是多少?
解析:
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:米)与起跳后的时间t(单位:秒)存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时间
段内的平均速度粗略地
描述其运动状态?
解析:h(t)=-4.9t2+6.5t+10
计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:
思考:
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?
(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在
这段时间里的运动状态.
这里Δx看作是相对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2同样Δy=f(x2)-f(x1)
平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子 表示.
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.
若设Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1)
观察函数f(x)的图象
平均变化率
表示什么?
O
A
B
x
y
y=f(x)
x1
x2
f(x1)
f(x2)
x2-x1=△x
f(x2)-f(x1)=△y
直线AB的斜率
在高台跳水运动中,平均速度不能反映运动员在这段时间里的运动状态,需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
又如何求
瞬时速度呢?
探究点2 导数的概念
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.
如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
求:从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
解:
△t0时, 在[ 2+△t, 2 ]
这段时间内
△t0时, 在[2, 2 +△t ]
这段时间内
当△t=–0.01时,
当△t=0.01时,
当△t=–0.001时,
当△t=0.001时,
当△t=–0.000 1时,
当△t=0.000 1时,
当△t=–0.000 01时,
当△t=0.000 01时,
当△t=–0.000 001时,
当△t=0.000 001时,
……
……
当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?
当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近于一个确定的值 –13.1.
从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1 m/s.
从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值– 13.1”.
为了表述方便,我们用
局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,
然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时
速度的精确值.那么,运动员在某一时刻 的瞬时速
度为
探究:
运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
导数的概念:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数,
记作 或 , 即
总结提升
求函数
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