数学建模课程设计基于插值拟合的黑白照片修复问题_毕业设计.doc

课程设计(论文) 课程名称 数学建模课程设计 题 目 基于插值拟合的黑白照片修复问题 院 （系） 理学院 专业班级 应数1401 姓 名 学 号 指导教师 2016 年 7 月 24 日基于插值拟合的黑白照片修复问题 摘要 自从摄影技术面世以来，照片成为人们寄托回忆，记录信息的一个重要载体。尤其是年代久远的老照片，更承载着许多珍贵的回忆。但由于相纸材质的自身特性，当代的保护技术限制以及保存不善等原因，现存的实体黑白照片总会有不同程度的损坏，大多是沾有污渍或者是破损变色。那么，依靠现有的技术手段能否完美还原老照片呢？本题将针对这一问题进行深入研究。 由于具有修复可能性和修复价值的照片整体一般较为完整，故将图片污损的一部分提取出来加以修改，再将修复好的部分与原图像合并，是较有效率的解决方案。 因问题一图像情况，利用图像文件的数据矩阵自身特性，设定合适阈值，筛选出污渍部分元素，同时利用原图像进行散乱点插值生成新图像矩阵，将污渍部分元素替换为生成新元素可以获得较理想结果。 问题二中，变色部分边缘图像元素与原图像矩阵元素差距较小，故对所有元素取平均值，并将此值作为基本检测标准，选取合适阈值，筛选出变色严重元素。利用原图像进行最临近插值形成新图像，替换变色严重元素为新图像。 由于问题三破损区域原图像有两种颜色，故在二者范围内随机取点求平均值作为检测标准，分别对两块区域进行拟合生成新图像，并重新拼接获得修复图像。 关键词：矩阵,二维插值,遍历法1.问题重述 1.1问题背景 照片作为人类记录事件的重要载体，对日常生活工作拥有者不可替代的重要意义。年代久远的黑白照片更是承载过去记忆的珍贵材料，但由于保存不善或各种原因，照片破损、发霉或沾上污渍的情况时有出现，本次将针对这类问题进行解决。问题中的处理样本是将纸质照片进行扫描得到的图片数据。 1.2问题情况 问题一中，照片上有三处大小不一的黑色点状污渍，颜色和周边图像差距较大，且原图像颜色较为均匀； 问题二的照片有较大区域发生变色，且变色区域边界不明确； 问题三照片有一形状不规则破损，位于整个图像中央区域，且原图像此处应为不同颜色交界处。 1.3问题目标 针对三张图片各自情况设计模型，对损坏图片进行修复。 2.问题分析 2.1预处理 由于直接由原照片扫描得到的图片文件在计算机中以（4*m*n）阶三维矩阵形式存在，结构比较复杂且数据量巨大，故在不影响实际结果且简化操作，缩小数据量的目的下，将彩色图像转化为黑白图像，即将数据简化为二维矩阵，降低了数据规模。 2.2问题分析 基于问题一图像情况，因为图像文件矩阵元素均为0至255的整数[1]，黑色污渍区域对应矩阵元素即为数值较小（接近0）的元素。将黑色值（0）作为基本检测标准，设定合适阈值，筛选出全部污渍部分元素。利用正常部分进行网格插值生成新图像矩阵，将污渍部分元素替换为接近正常部分元素的数值可以获得理想结果。 问题二中，变色部分边缘图像元素与原图像矩阵元素差距较小，变化情况接近连续函数，无法直接分辨出变色区域图像。但原图像正常元素基本处于某一值附近，故可以对所有元素取平均值，并将此值作为基本检测标准，规定一合适阈值，筛选出变色严重元素。利用相对正常图像进行散乱点插值形成新图像，替换变色严重元素为新图像。 问题三图像缺失部分已用黑色（元素值均为0）填充，故可以快速检验出破损区域。由于破损区域原图像有两种颜色，故在二者大致范围内随机取点求平均值，作为检测标准，将两块区域分开；再分别对两块区域进行拟合生成新图像，并重新拼接，获得修复后图像。 3.模型假设 1.假设问题中的所有照片扫描均过程不产生色差，默认所用图像情况即为原图像情况； 2.假设扫描图片清晰程度不影响处理结果； 3.实际情况下照片破损部分边缘经常磨损发白，问题三中忽略此情况，即假设照片破损本质为矩阵元素丢失。 4.符号说明 第k问当中的被处理矩阵 第k问当中的检测标准值 第k问当中的检测阈值 第k问矩阵中需要替换的某元素 第k问中插值形成的图像曲面矩阵 第k问中的处理后矩阵 5.模型的建立与求解 由于问题中的图片均已简化为二维矩阵，故可将原图片视为连续变化的三维曲面，这样利用二维插值的方式还原图片是比较合理的[2]。同时，为简化处理过程并提高效率，下列对问题的讨论中被处理的原图像矩阵A均视为大小适宜的，从原图像中提取出的污损部分及周边元素组成之矩阵。 5.1元素筛选模型 对于被处理矩阵A，均有方法确定一检测标准值x及检测阈值y（由于图像矩阵性质，x应为0到255间正整数，y为正整数且x±y应处于0和255之间）。对矩阵A当中的每一个元素进行检验，若被检测元素符合，则将其替换为INF元素。基本算法如下图1所示  图1 元素筛选算法流程图 5.2利用二维插值生成图像模