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高数A1第十七讲不定积分讲述
第四章
微分法:
积分法:
互逆运算
不定积分
二、 基本积分表
三、不定积分的性质
一、 原函数与不定积分的概念
第一节
不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念
引例: 一个质量为 m 的质点,
下沿直线运动 ,
因此问题转化为:
已知
求
在变力
试求质点的运动速度
根据牛顿第二定律,
加速度
定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)
满足
在区间 I 上的一个原函数 .
则称 F (x) 为f (x)
如引例中,
的原函数有
一个函数是它导数的一个原函数
问题:
1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?
2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
原函数存在定理
存在原函数 .
(下章证明)
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
原函数性质
原函数都在函数族
( C 为任意常数 ) 内 .
证: 1)
又知
故
即
属于函数族
即
定义 2.
在区间 I 上带有任意常数项的原函数称为
上的不定积分,
其中
— 积分号;
— 被积函数;
— 被积表达式.
— 积分变量;
(P185)
若
则
( C 为任意常数 )
C 称为积分常数
不可丢 !
例如,
记作
不定积分的几何意义:
的原函数的图形称为
的图形
的所有积分曲线组成
的平行曲线族.
的积分曲线 .
例3. 设曲线通过点( 1 , 2 ) ,
且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) ,
故有
因此所求曲线为
例4. 质点在距地面
处以初速
力, 求它的运动规律.
解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,
质点抛出时刻为
此时质点位置为
初速为
设时刻 t 质点所在位置为
则
(运动速度)
(加速度)
垂直上抛 ,
不计阻
先求
由
知
再求
于是所求运动规律为
由
知
故
二、 基本积分表 (P188)
从不定积分定义可知:
或
或
利用逆向思维
( k 为常数)
或
或
例5. 求
解: 原式 =
例7. 求
解: 原式 =
例6. 求
解: 原式 =
三、不定积分的性质
例8. 求
解: 原式 =
例9. 求
解: 原式 =
例10. 求
解: 原式 =
例12. 求
解: 原式 =
例11. 求
解: 原式 =
例13. 求
解: 原式 =
例14. 求
解: 原式 =
例15. 求
解: 原式 =
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内容小结
1. 不定积分的概念
? 原函数与不定积分的定义
? 不定积分的性质
? 基本积分表 (见P 188)
2. 直接积分法:
利用恒等变形,
及 基本积分公式进行积分 .
常用恒等变形方法
分项积分
加项减项
利用三角公式 , 代数公式 ,
积分性质
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思考: 若
的导函数为
则
的一个原函数
是 ( ) .
提示:
已知
求
即
B
?
?
或由题意
其原函数为
思考:一个函数的导数与它的原函数是什么关系?
作业
P192
2 (5) , (14) ,(17) ,(20) , (23) , (26) ;
5
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