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有限元方法原理综述 机电学院 机械工程 （有限元方法课程结课论文） ---------------------------------------------------------------------------------------- 摘要：简述了有限元方法的起源、发展，理论思想和在实际工程方面的应用。重点叙述了有限元方法理论实践的应用，总结了方法学习思想，滤清了学习过程中笼统的概念。最后通过简单悬架梁受载荷的实例检验所学的知识点，加深了对于理论知识的理解与记忆。 关键词：有限元方法 发展应用 工程应用 实例分析 中图分类号：TB1 文献标识码：A 文章编号 ：□□□□□□□□ ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 有限元法（finite element method）是计算力学的一种重要方法。自19世纪提出以来，在各个领域中得到了广泛的应用。有限元方法的基本思想是先将研究对象的连续求解区域离散成一组且按照一定方式相互连接在一起的单元组合体。由于单元体能按照不同的链接方式组合，且单元体又有不同的形状，因此可以模拟成不同几何形状的求解小区域，然后对单元进行力学分析。最后再整合分析，这种化整为零，化单体为多体，最后在集零为整的方法就是有限元方法的主要思想。 1. 有限元方法的发展历史与进程 有限元方法起源于需要解决市政工程和航空工程方面复杂的弹性结构分析问题。它的开发可以追溯到A.Hrennikoff（1941）和R.Courant（1942）的工作。虽然这些先驱者使用这些方法，并且引人注目的不同，但他们都共享一个基本的特性：把连续域的网格离散化进入一组离散的子域里。Hrennikoff的工作是采用格子使域离散，而与之类似，为了求解起源于汽缸扭转的问题的二阶椭圆的偏微分方程式（PDEs），Richard Courant的方法是把域划分成有限的三角形子域。对于由Rayleigh，Ritz和Galerkin开发的偏微分方程式（PDEs），Richard Courant的贡献是改进，绘制了大量的早期结果。针对机身和结构分析的有限元方法的开发最早开始于1950年代中期，并且用于市政工程的有限元方法许多是1960年代在伯克利开始启动（见伯克利早期有限元研究）。在1973年Strang和Fix出版的《有限元方法的分析》里，提供的方法采用了严格的数学基础，并且已经在广泛变化的工程学科，即电磁和流体力学里，针对物理系统的数字建模，归纳成为应用数学的分枝。 在结构力学里，有限元方法的开发常常是基于能量理论，即虚功原理或最小总潜能原理，对于结构工程师来说，早就强烈要求提供综合的，直觉的和物理的依据。到20世纪80年代初期国际上较大型的结构分析有限元通用程序多达几百种，从而为工程应用提供了方便条件。由于有限元通用程序使用方便，计算精度高，其计算结果已成为各类工业产品设计和性能分析的可靠依据。到目前为止，有限元分析方法已经成为各工程行业必不可少的可靠分析方法。 2 有限元法的基本原理 在工程分析和科学研究中，常常会遇到大量的由常微分方程、偏微分方程及相应的边界条件描述的场问题，如位移场、应力场和温度场等问题。目前求解这类场问题的方法主要有两种：用解析法求得精确解; 用数值解法求其近似解。 其中，能用解析法求出精确解的只能是方程性质比较简单且几何边界相当规则的少数问题。而对于绝大多数问题，则很少能得出解析解。这就需要研究它的数值解法，以求出近似解。目前，工程中实用的数值解法主要有三种：有限差分法; 有限元法; 边界元法; 其中，以有限元法通用性最好，解题效率高，工程应用最广。目前它已成为机械产品动、静、热特性分析的重要手段，它的程序包是机械产品计算机辅助设计方法库中不可缺少的内容之一。 2.1 基本思想 弹性力学解法的问题弹性力学解法的问题在于：不论是应力函数解法、扭转函数解法、挠曲函数解法、还是基于最小势能原理的瑞利－李兹等方法，其困难在于如何给出一个在全求解区给出一个在全求解区域上均成立的试探函数。在有限单元法里，这个问题通过定义分片插值的位移或应力函数得到了巧妙的解决。有限元方法基于变分原理和加权余量法，把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。 2.2 求解步骤 建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值