考试资料 《高等数学2上册》补充习题及模拟题答案_全案.doc

《高等数学》（Ⅱ）上 习题册 第二版（修定版） 教 师 用 书 省级精品课程《高等数学》课题组编 第一章补充习题 一、填空题 若在处连续，在处不连续，则在处 连续。 解：不一定，举例①， 在处连续 ② ， 在处不连续。 二、选择题 （2004数学三、四） 函数在下列哪个区间内有界？ （A）(－1, 0). （B）(0, 1). （C）(1, 2). （D）(2, 3). 解：当x≠0, 1, 2时，f (x)连续，而， ， 所以，函数f (x)在(－1, 0)内有界，故选（A） 三．已知，求常数a，b。 解：原式= ∴ 四、求 解：① 当时 ∴ ② 当时 ∴ ③ 当时 ∴ 综上得原式= 五、求的连续区间、间断点并判别其类型。 解：∵ 和时无定义 ∴ 和是间断点 又 ∵ ∴点无穷间断点（第二类） 而 ∴ 是跳跃间断点 六、设在上连续，，试证明：对任意的正数p和q，至少存在一点，使. 证：∵ 在连续，∴ 在也连续 由最值定理： 且 ∴ 且 ∴ 由介值定理得存在一个，使得 故成立。 第二章补充习题 一、填空题 1．设方程确定函数为，则 。 解： 2．设函数二阶可导，且，则 。 解： 二、若可导，求 解：原式= 三、设，且，求证 证：∵ ∴ 而 ∴ 又 ∵ ∴ ∴ ∴ 得证 四、试从导出 证： 五、设满足，求。 解：∵ （1） ∴ （2） （2）×2－①得 ∴ ∴ 六、求由参数方程以确定的函数的三阶导数 解： 第三章补充习题 一、填空题 1．曲线的渐近线为 。 解：间断点为 ∵ ∴ 渐近线为 2．设与可求任意阶导数，且，，。则 。 解：由得，再求导有， 由洛必塔法则得 二、设，，。并设 求。 解： 。 注意：对于不能使用洛必达法则，这是因为仅设处存在，而未设在处连续。上面*的第1式是按定义求得的，第2式用洛必达法则或等价无穷小代换均可。 三、（2000数学二） 求函数在x = 0处的n阶导数f(n)(0)(n≥3). [解1] 设，.根据莱布尼兹公式，有 [注意：.] ， 故 . [解2] 由麦克劳林公式以及 ， 比较的系数得，故 四、（1995数学二）设在区间内二阶可导，且，。试证明，且仅在时等号成立。 解：由二阶可导，所以在连续。又由，有，。由泰勒公式有 ，且仅在成立等号 五、设在区间[0，1]上二阶可导，，设。证明在（0，1）内至少存在一点，使。 解：，。由罗尔定理知，至少存在一点使。但， 对在区间上用罗尔定理，至少存在一点使。 六、设在的某邻域内具有三阶连续导数，如果，，而，试问是否为极值点？为什么？又是否为拐点？为什么？ 解：∵不仿设，而在的邻域D内连续， ∴存在邻域使得在有 由泰勒公式：均有 （在x与x0之间） i）当，，当，，∴ 非极值。 ii）∵在连续可导，对于且应用拉格朗日中值定理得，在与x之间，即，而 ∴ 为拐点 对于可仿二证明。 七、1. （2004数学三、四） 求. 解：原式 . 2. 求 . 解:. 3. （1991数学三） 求，其中n是给定的自然数. 解：原式 4. （1991数学四） 求极限. 解：原式 5.求 解：原式 6. （1993数学一、二） 求 解：设，原式 = 第四章补充习题 一、填空题 1．积分 。 解：原式= = 2．设，则 。 解：令，则 两边在[0，1]积分得 ∴ 3．设是连续函数，则 。 解：令， 。 二、求极限