问题导数概念和运算.PPTVIP

经济学中我们需要研究变量与变量之间的依赖关系即研究 函数关系；研究变量的变化趋势即研究函数极限；除此之外, 还要研究各变量之间相对变化快慢的程度；如城市人口增长的 速度、国民经济发展的速度和劳动生产率等，这就需要用导数 来研究。 本章将介绍导数和微分的概念以及它们的计算方法。;§3.1 从两个问题谈起; 1638年，Galilo出版《关于两门新科学的对话》，极力提 倡自然科学的数学化，并建立了自由落体规律、动量定律 等。此后，从数学上推证Kepler的经验定律成为当时自然科 学的中心课题之一。其中主要的研究问题有：确定非匀速运 动物体的速度与加速度的瞬时变化率问题；为望远镜的光程 设计而确定透镜曲面上任一点的法线引出的曲线切线问题； 确定近日点与远日点等涉及的函数极大值、极小值问题。在 17世纪上半叶，Descartes、Fermat、Barrow、J.Wallis等科 学家各自从不同的方面做出一系列具体工作，但他们的工作 缺乏一般性。17世纪后期，最关键的工作由Newton和Leibniz 完成了。 下面分别介绍Newton和Leibniz的工作。; Newton对微积分的研究始于1664年初，1665年至1667年 春， Newton在家乡躲避瘟疫期间微积分的研究获得突破性 的进展。1665年11月发明“正流数术”，次年5月建立“反流数 术”。1666年完成了总结性论文(后称《流数简论》)，此文并 未发表，仅在同事中传阅。《流数简论》标志着微积分的诞 生。 Newton最先发表的微积分学说是1687年出版的《自然哲 学的数学原理》。而他其他的有关微积分的论文如《运用无 限多项方程的分析》、《流数法与无穷级数》和《曲线求积 术》都发表的很晚(最后一篇论文是在1736年他去世后才发 表)。; Newton把任何变量都叫做流动量。因为任何运动都离不 开时间，所以Newton总是把时间作为自变量，运动的速度， 即我们所说的导数， Newton把它叫做流数。 Newton在世时极限的概念还没有明确。为了便于理解， 下面以极限的形式讨论速度问题。 问题的提出 设一质点在坐标轴上作非匀速运动，时刻t质 点的坐标为s，s是t的函数：s=s(t)，求动点在时刻t0的速度。 问???的解决 时间t由t0变到t1时，时间的改变量为Δt；对 应地，路程的改变量为Δs=s(t0+Δt)-s(t0)，则Δt内的平均速度; 如果时间间隔较短，这个平均速度在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度。但这样做是不精确的，更确切地应当 这样：令Δt =t -t0?0，取比值;二、Leibniz的切线问题; 过M点作割线MN，;§3.2 导数概念与运算法则;定义 设函数f(x)在U(x0)有定义，若极限; Δx是自变量x的改变量(可正可负)； Δy=f( x0+ Δx) - f ( x0) 是因变量的改变量。;利用定义求函数的导数，即求极限;例;定义 函数y=f(x)在U-(x0) ∪{x0}有定义，若极限;例; 定义 若函数f(x)在(a,b)内的每一点都可导，则称f(x)在(a,b) 内可导，此时f’(x)可视为x∈(a,b)的函数，称为f(x)的导函数,简 称为导数，记为;例 求函数y=cosx的导函数。;2、几何意义;例 求曲线y=log2x在点(2,1)处的切线方程与法线方程。;3、与连续的关系;例1;解;Date;这个定理的逆否命题是：不连续则不可导。例如函数;二、导数的四则运算;推论;例2;练习;