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随机信号处理初步
第十二章 随机信号处理初步;12.1 随机过程;一方面随机过程;我们用各种概率函数来描述随机变量,以及随机变量之间的概率;概率密度函数 ; 如果随机变量的取值被量化了,也就是说,的取值离散地分布在有限个数值等级上,例如:我们在计算机里面用一个字节(unsigned char)来存储一个数值,则在256个数值等级上取值。 ;;我们用联合概率分布函数来描述多个随机变量之间的相互依
从关系, ;联合概率密度函数;如果随机变量的取值被量化了,我们用联合概率质量函数,;;两个随机变量统计独立 :;如果一个随机过程的所有概率函数与时间原点的选择无关,则称之为严平稳随机过程或者狭义平稳随机过程,这种随机过程的概率函数有以下特征: ;;12.2 随机过程的统计特征;随机变量的函数仍然是随机变量,其均值为: ;容易证明均值的下列性质: ; 统计独立只是上式的充分条件,不是必要条件,我们把满足上的两个随机变量和称为是线性独立(linearly independent)的。统计独立的随机变量一定线性独立,线性独立的随机变量不一定统计独立。 ;随机变量的方差(variance)定义为 :;方差的平方根;自协方差序列(autocovariance sequence)定义为: ;对于随机过程;互协方差序列(crosscovariance sequence)定义为: ;一般而言,随机过程的统计特征是随时间变化而变化的,但是
对于狭义平稳随机过程来说,由于其概率函数与时间起始点无
关,容易得出:;狭义平稳随机过程的自相关序列有:;在很多情况下,并不需要分析随机过程的概率函数,而只要了解它的统计特征就够了,因此我们引入广义平稳过程的概念。
如果一个随机过程满足(12.29)和(12.31)式,且均方值有界,则称为广义平稳随机过程(generalized stationary random process)或者宽平稳随机过程。因为有了“均方值有界”这么个条件,严平稳随机过程不一定是宽平稳随机过程。;一个随机信号可以看成是一个样本信号集;中的任意一个确定性信号;如果对于所有的样本信号都有:;有了这个各态遍历假设,我们就可以根据一个确定性的样
本信号来计算随机信号的统计特征。
在实际中,我们并不能进行(12.32)和(12.33)那样的无穷多
项的求和,我们只能够依据下列两个式子进行估计:;12.3 统计特征的频域表示;上面两式说明,如果均值为0,相关序列和协方差序列相等。 ;我们将自协方差序列;12.4 随机信号激励LTI系统;下面我们来看看随机信号;这个两重级数的结果只与m有关;一个广义平稳随机信号通过线性时不变系统,其输出仍然是广义
平稳随机信号。;;;被称为确定性信号;从频域来看。如果单位冲激响应为实的 。;两边取
傅里叶变换 ;下面我们看看输入信号与输出信号的互相关,;两边取傅里叶变换, ;白 噪 声;白噪声的功率谱密度: ;12.5谱估计(Spectrum Estimation);可以证明: ;Matlab提供了pwelch函数,用于估计PSD。其中,周期图的计
算是通过FFT进行的。pwelch函数的语法如下:
pwelch(x,window,noverlap,nfft,fs, range);下面我们通过一个Matlab来演示一个韦尔奇法估计PSD的例子,
在这里信号是一个加了噪声的200Hz的正弦信号,采样频率为
1000 Hz,使用33点的Hamming窗,32点的重叠,FFT的长度
为默认长度,显示谱的两边: ; 下面我们看一个系统辨识的例子,x[n]是一个40000点的白噪声,通过一个线性时不变系统,输出为y[n],函数csd用于估计互功率谱密度 。
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