C++数据结构第4章第6节最小生成树(C++版)汇编.ppt

引入 一、什么是图的最小生成树（MST）？ 　　不知道大家还记不记得树的一个定理：N个点用N-1条边连接成一个连通块，形成的图形只可能是树，没有别的可能。 引入 引入 Prim算法 Prim算法 Prim算法 Prim算法 Prim算法 Prim算法 Prim算法 Kruskal算法 Kruskal算法 Kruskal算法 Kruskal算法 Kruskal算法 Kruskal算法 Kruskal算法 Kruskal算法 Kruskal算法 Kruskal算法 上机练习 上机练习 * * * 第六节 最小生成树 　　一个有N个点的图，边一定是大于等于N-1条的。图的最小生成树，就是在这些边中选择N-1条出来，连接所有的N个点。这N-1条边的边权之和是所有方案中最小的。 二、最小生成树用来解决什么问题？ 　　就是用来解决如何用最小的“代价”用N-1条边连接N个点的问题。例如： 【例4-9】、城市公交网建设问题 【问题描述】 　　有一张城市地图，图中的顶点为城市，无向边代表两个城市间的连通关系，边上的权为在这两个城市之间修建高速公路的造价，研究后发现，这个地图有一个特点，即任一对城市都是连通的。现在的问题是，要修建若干高速公路把所有城市联系起来，问如何设计可使得工程的总造价最少？ 【输入格式】 n（城市数，1=n=100） 　　e（边数） 　　以下e行，每行3个数i,j,wij，表示在城市i,j之间修建高速公路的造价。 【输出格式】 　　n-1行，每行为两个城市的序号，表明这两个城市间建一条高速公路。 【输入样例】 　　5 8 　　1 2 2 　　2 5 9 　　5 4 7 　　4 1 10 　　1 3 12 　　4 3 6 　　5 3 3 　　2 3 8 【输出样例】 　　　1 2 　　　2 3 　　　3 4 　　　3 5 　　Prim算法采用与Dijkstra、Bellman-Ford算法一样的“蓝白点”思想：白点代表已经进入最小生成树的点，蓝点代表未进入最小生成树的点。 算法描述： 以1为起点生成最小生成树，min[v]表示蓝点v与白点相连的最小边权。 MST表示最小生成树的权值之和。 a）初始化：min[v]= ∞(v≠1); min[1]=0;MST=0; b）for (i = 1; i= n; i++) 1.寻找min[u]最小的蓝点u。 2.将u标记为白点 3.MST+=min[u] 4.for 与白点u相连的所有蓝点v if (w[u][v]min[v]) min[v]=w[u][v]; c）算法结束： MST即为最小生成树的权值之和 算法分析思想讲解： Prim算法每次循环都将一个蓝点u变为白点，并且此蓝点u与白点相连的最小边权min[u]还是当前所有蓝点中最小的。这样相当于向生成树中添加了n-1次最小的边，最后得到的一定是最小生成树。 　　我们通过对下图最小生成树的求解模拟来理解上面的思想。蓝点和虚线代表未进入最小生成树的点、边；白点和实线代表已进入最小生成树的点、边。 初始时所有点都是蓝点，min[1]=0,min[2、3、4、5]=∞。权值之和MST=0。 1 2 3 4 5 2 4 7 1 1 6 2 第一次循环自然是找到min[1]=0最小的蓝点1。将1变为白点，接着枚举与1相连的所有蓝点2、3、4，修改它们与白点相连的最小边权。 1 2 3 4 5 2 4 7 1 1 6 2 min[2]=w[1][2]=2; min[3]=w[1][3]=4; min[4]=w[1][4]=7; 第二次循环是找到min[2]最小的蓝点2。将2变为白点，接着枚举与2相连的所有蓝点3、5，修改它们与白点相连的最小边权。 1 2 3 4 5 2 4 7 1 1 6 2 min[3]=w[2][3]=1; min[5]=w[2][5]=2; 　　 第三次循环是找到min[3]最小的蓝点3。将3变