高等材料力学课件五弹性力学边值问题.PPTVIP

第五章 弹性力学边值问题;目录 §5.1 弹性力学基本方程 §5.2 问题的提法 §5.3 弹性力学问题的基本解法 §5.4 解的唯一性 §5.5 圣维南局部影响原理 §5.6 叠加原理;总结弹性力学基本理论； 讨论已知物理量、基本未知量；以及物理量之间的关系——基本方程和边界条件。;弹性力学基本方程 ;3. 变形协调方程;本构方程——广义胡克定律 应力表示 应变表示 ;边界条件 若物体表面的面力分量为Fsx、Fsy和Fsz已知 则面力边界条件为：; 总结：;弹性力学的任务就是在给定的边界条件下，就十五个未知量求解十五个基本方程。 求解弹性力学问题时，并不需要同时求解十五个基本未知量，可以做必要的简化。 为简化求解的难度，仅选取部分未知量作为基本未知量。;在给定的边界条件下，求解偏微分方程组的问题，数学上称为偏微分方程的边值问题。 按照不同的边界条件，弹性力学有三类边值问题。 第一类边值问题：已知弹性体内的体力和其表面的面力分量为Fsx、Fsy和Fsz，边界条件为面力边界条件。 第二类边值问题：已知弹性体内的体力分量以及表面的位移分量，边界条件为位移边界条件。;第三类边值问题：已知弹性体内的体力分量，以及物体表面的部分位移分量和部分面力分量，边界条件在面力已知的部分，为面力边界条件，位移已知的部分为位移边界条件。称为混合边界条件。 以上三类边值问题，代表了一些简化的实际工程问题。 若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问题的解是唯一的。;位移解法 ——以位移函数作为基本未知量 应力解法 ——以应力函数作为基本未知量 混合解法 ——以部分位移和部分应力分量作为基本未知量;§5.3 弹性力学问题基本解法 ;位移分量表达的应力分量;位移解法的基本未知量为3个位移函数 基本方程为3个拉梅方程 对于位移边界条件，位移解法是十分的合适的。;但是位移函数表达的面力边界条件十分繁杂;总之，位移解法以位移为基本未知函数，归结为在给定的边界条件下求解位移表示的平衡微分方程，即拉梅方程。 位移分量求解后，可通过几何方程和物理方程求出相应的应变分量和应力分量。 ;例:;常数A、B由边界条件确定;应力函数作为基本未知量求解的方法称为应力解法 应力解法的基本方程 1. 平衡微分方程 2. 变形协调方程 ;应力解法 1. 平衡微分方程 2. 变形协调方程 ;应力解法 平衡微分方程 变形协调方程 ;§5.3 基本解法9;§5.3 基本解法10;§5.3 基本解法11;§5.3 基本解法12;应力解法的基本未知量为6个应力分量； 基本方程为3个平衡微分方程和6个变形协调方程。 应力解法适用于面力边界条件。 总而言之，在以应力函数作为基本未知量求解时，归结为在给定的边界条件下，求解平衡微分方程和应力表达的变形协调方程所组成的偏微分方程组。 ;混合解法 根据问题性质和边界条件，选择不同的基本未知量求解称为混合解法。 以六个应力分量和三个位移分量作为基本未知量求解弹性力学问题 。 ;混合解法 基本方程为平衡微分方程和由应力分量表达的几何方程 。 ;弹性力学的基本未知量位移、应力和应变等在体力为常量时具有一些特性。 掌握这些特性，可以帮助我们分析弹性力学问题。 物理量特性;§5.3 基本解法17;§5.3 基本解法18;§5.3 基本解法19;物理量特性;体力为常量，体积应力和体积应变均满足拉普拉斯（Laplace)方程。 体积应力函数和体积应变函数为调和函数。 位移分量，应变分量和应力分量均满足双调和方程， 位移分量，应变分量和应力分量为双调和函数。 ;§5.4 解的唯一性原理; 解的唯一性原理—— 弹性体受已知体力作用。在物体的边界上，或者面力已知；或者位移已知；或者一部分面力已知，另一部分位移已知。则弹性体平衡时，体内各点的应力和应变是唯一的，对于后两种情况，位移也是唯一的。; 应变能定理—— 弹性体在外力作用下处于平衡状态时，物体内存储的弹性势能，即应变能，等于外力由原始位置到平衡位置所做的功。假如外力是由零连续变化到其最终数值的，则在加载的过程中，物体始终是处于平衡状态的。 ; 解的唯一性定理证明; 解的唯一性定理证明; 解的唯一性定理证明; 解的唯一性定理证明; 局部影响原理—— 物体任意一个小部分作用一个平衡力系，则该平衡力系在物体内部所产生的应力分布，仅局限于力系作用的附近区域。在距离该区域相当远处，这种影响便急剧减小。;§5.5 圣文南原理2;§5.5圣文南原理3;§5.5 圣文南原理4;解的叠加原理—— 小变形线弹性条件下，作用于物体的若干组载荷产生的总效应（应力和变形等），等于每组载荷单独作用效应的总和。;逆解法 ——根