微分中值定理与泰勒公式.docVIP

一. 设函数f(x)在闭区间[0, 1]上可微, 对于[0, 1]上每一个x, 函数f(x)的值都在开区间(0, 1)内, 且 , 证明: 在(0, 1)内有且仅有一个x, 使f(x) = x. 证明: 由条件知0 f(x) 1. 令F(x) = f (x)－x, 于是F(0) 0, F(1) 0, 所以存在? ? (0, 1), 使F(?) = 0. 假设存在?1, ?2 ? (0, 1), 不妨假设?2 ?1, 满足f(?1) = ?1, f(?2) = ?2. 于是?? ?1－?2 = f(?1)－f(?2) = . (?2 ? ?1). 所以 , 矛盾. 二. 设函数f(x)在[0, 1]上连续, (0, 1)内可导, 且 . 证明: 在(0, 1)内存在一个?, 使 . 证明: , 其中?1满足 . 由罗尔定理, 存在?, 满足0 ? ?1, 且 . 三．设函数f(x)在[1, 2]上有二阶导数, 且f(1) = f(2) = 0, 又F(x) =(x－1)2f(x), 证明: 在(1, 2)内至少存在一个?, 使? . 证明: 由于F(1) = F(2) = 0, 所以存在?1, 1 ?1 2, 满足 . 所以 .所以存在?, 满足1 ? ?1, 且 . 四. 设f(x)在[0, x](x 0)上连续, 在(0, x)内可导, 且f(0) = 0, 试证: 在(0, x)内存在一个?, 使?? . 证明: 令F(t) = f(t), G(t) = ln(1+t), 在[0, x]上使用柯西定理 ????? ,? ? ? (0, x) 所以? , 即 五. 设f(x)在[a, b]上可导, 且ab 0, 试证: 存在一个? ? (a, b), 使 ????????? 证明: 不妨假设a 0, b 0. 令 . 在[a, b]上使用拉格朗日定理 ????? 六. 设函数f(x), g(x), h(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 证明:存在一个? ? (a, b), 使 ??????????? 证明: 令 , 则F(a) = F(b) = 0, 所以存在一个? ? (a, b), 使 ??????????? 七. 设函数f(x)在[0, 1]上二阶可导, 且f(0) = f(1) = 0, 试证: 至少存在一个? ? (0, 1), 使 ???????????? 证明: ( , 二边积分可得 , 所以 ) 令 . 由f(0) = f(1) = 0知存在? ? (0, 1), . 所以F(?) = F(1) = 0, 所以存在 ? ? (?, 1), . 立即可得 八. 设f(x)在[x1, x2]上二阶可导, 且0 x1 x2, 证明:在(x1, x2)内至少存在一个?, 使 ???????????? 证明: 令 , 在[x1, x2]上使用柯西定理. 在(x1, x2)内至少存在一个?, 满足 ???? ???????? 九. 若x1x2 0, 证明: 存在一个? ? (x1, x2)或(x2, x1), 使 ???????????? 证明: 不妨假设0 x1 x2. 令 , 在[x1, x2]上使用柯西定理. 在(x1, x2)内至少存在一个?, 满足 ??????????? 立即可得??? . 十. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且f(a) = f(b) = 0, g(x) ? 0, 试证: 至少存在一个? ? (a, b), 使????? 证明: 令 , 所以F(a) = F(b) = 0. 由罗尔定理至少存在一个? ? (a, b), 使 ??????? , 于是??? . 十一. 设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内有二阶连续导数, 试证: 至少存在一个? ? (a, b), 使 ???????????? 证明: ?x, t ? [a, b], 有 取 t = , 分别取x = b, x = a, 得到 二式相加, 得 所以存在? ? (a, b), 使得 ????? 十二. 设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且f(a) = f(b) = 1, 证明: 存在?、? ? (a, b), 使得 ?????????????? 证明: 对于 在[a, b]上使用拉格朗日定理, 在(a, b)内存在?, 使得 ????????? 所以在(a, b)内存在?, 使得??? 即是????????