柯西不等式与排序不等式及应用.docVIP

2013年高考第一轮复习资—理科数学 PAGE  PAGE 5 第42讲 柯西不等式与排序不等式及应用 【考点解读】 1. 认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题； 2. 了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法. 【知识扫描】 1. 柯西（Cauchy）不等式 等号当且仅当或时成立（k为常数，） 2. 排序不等式（即排序原理）： 设有两个有序实数组:···;···.···是，···的任一排列,则有 ···+ (同序和) +···+ (乱序和) +···+ (反序和) 当且仅当···=或···=时，反序和等于同序和. 【考计点拔】 牛刀小试： . 5． 已知，求的最小值。 参考答案：1．A 2、B 3．3 4． 5． 5．（凑配法） 【典例解析】 柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题： 考点一：证明相关命题 例1．用柯西不等式推导点到直线的距离公式。 已知点及直线 设点p是直线上的任意一点， 则 （1） （2） 点两点间的距离就是点到直线的距离，求（2）式有最小值，有 由（1）（2）得： 即 （3） 当且仅当 （3）式取等号 即点到直线的距离公式 即 考点二：证明不等式 例2：已知正数满足 证明 证明：利用柯西不等式 又因为 在此不等式两边同乘以2，再加上得： 故 考点三：解三角形的相关问题 例3 设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，证明 证明：由柯西不等式得， 记为的面积，则 故不等式成立。 考点四：求最值 例4：已知实数满足， 试求的最值 解：由柯西不等式得，有 即 由条件可得， 解得，当且仅当 时等号成立， 代入时， 时 考点五：利用柯西不等式解方程 例5．在实数集内解方程 解：由柯西不等式，得 ① 又 即不等式①中只有等号成立 从而由柯西不等式中等号成立的条件，得 它与联立，可得 【变式训练1】 已知求证：。 证明：由柯西不等式，得 当且仅当时，上式取等号， 于是 【变式训练2】解方程 【解析】： = 由柯西不等式知 即 当上式取等号时有成立，即 （无实根） 或，即 ，经检验，原方程的根为